Вариант 4, страница 16 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 10. Период и частота обращения. Кинематика. Механика - страница 16.

Условие.

Вариант 4

1. Колесо автомобиля радиусом 30 см совершает за одну минуту 500 оборотов. Определите скорость автомобиля.

2. Период вращения первого колеса в 4 раза больше периода вращения второго, а радиус второго колеса в 2,5 раза меньше радиуса первого. Во сколько раз различаются их центростремительные ускорения?

Решение.

1. Колесо автомобиля радиусом 30 см совершает за одну минуту 500 оборотов. Определите скорость автомобиля.

Дано:

$R = 30$ см

$N = 500$

$t = 1$ мин

Перевод в систему СИ:

$R = 0.3$ м

$t = 60$ с

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Скорость поступательного движения автомобиля равна линейной скорости точек на ободе колеса. Линейная скорость $\text{v}$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $\text{R}$ соотношением $v = \omega R$. Угловую скорость можно найти через частоту вращения $\text{f}$: $\omega = 2\pi f$. Частота, в свою очередь, определяется как число оборотов $\text{N}$ за промежуток времени $\text{t}$: $f = \frac{N}{t}$.

Объединив формулы, получим выражение для скорости автомобиля:

$v = 2\pi f R = 2\pi \frac{N}{t} R$

Подставим числовые значения:

$v = 2 \cdot \pi \cdot \frac{500}{60 \text{ с}} \cdot 0.3 \text{ м} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 500 \cdot 0.3}{60} \text{ м/с} = \frac{300\pi}{60} \text{ м/с} = 5\pi \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 5 \cdot 3.14 = 15.7 \text{ м/с}$

Ответ: скорость автомобиля равна $5\pi$ м/с, что приблизительно составляет 15.7 м/с.

2. Период вращения первого колеса в 4 раза больше периода вращения второго, а радиус второго колеса в 2,5 раза меньше радиуса первого. Во сколько раз различаются их центростремительные ускорения?

Дано:

$T_1 = 4T_2$

$R_1 = 2.5R_2$

Найти:

$\frac{a_2}{a_1}$ - ?

Решение:

Центростремительное ускорение $\text{a}$ точки, движущейся по окружности радиусом $\text{R}$ с периодом $\text{T}$, определяется по формуле:

$a = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Запишем выражения для центростремительных ускорений первого ($a_1$) и второго ($a_2$) колес:

$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$

$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$

Чтобы найти, во сколько раз различаются их ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}}{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}} = \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_2}{R_1} \cdot \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Из условий задачи имеем:

$\frac{T_1}{T_2} = 4$

$\frac{R_1}{R_2} = 2.5 \implies \frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2.5}$

Подставим эти соотношения в формулу для отношения ускорений:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2.5} \cdot (4)^2 = \frac{16}{2.5} = \frac{160}{25} = 6.4$

Таким образом, центростремительное ускорение второго колеса в 6.4 раза больше, чем у первого.

Ответ: центростремительное ускорение второго колеса в 6.4 раза больше, чем у первого.