Вариант 1, страница 15 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 10. Период и частота обращения. Кинематика. Механика - страница 15.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Период и частота обращения

Вариант 1

1. Диск радиусом 40 см совершает один оборот за 0,4 с. Определите скорость крайних точек диска.

2. Два цилиндра соединены ремённой передачей. Радиус первого цилиндра 30 см, и за одну минуту он совершает 200 оборотов. Второй цилиндр за то же время совершает 1000 оборотов. Определите радиус второго цилиндра.

Решение.

1. Дано:

Радиус диска, $R = 40$ см
Период обращения, $T = 0,4$ с

Перевод в СИ:
$R = 0,4$ м

Найти:

Скорость крайних точек диска, $\text{v}$ - ?

Решение:

Скорость крайних точек диска, или линейная скорость, определяется как отношение длины пути, пройденного точкой за один оборот, ко времени этого оборота.

Путь, который проходит крайняя точка за один оборот, равен длине окружности диска. Длина окружности $\text{L}$ вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi R$

Время одного полного оборота называется периодом обращения $\text{T}$. По условию задачи, $T = 0,4$ с.

Линейная скорость $\text{v}$ вычисляется по формуле:

$v = \frac{L}{T} = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим данные из условия в формулу, используя значения в системе СИ:

$v = \frac{2 \pi \cdot 0,4 \text{ м}}{0,4 \text{ с}} = 2 \pi \text{ м/с}$

Для получения числового значения, примем $\pi \approx 3,14$:

$v \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28 \text{ м/с}$

Ответ: скорость крайних точек диска равна $2 \pi$ м/с, что приблизительно составляет 6,28 м/с.

2. Дано:

Радиус первого цилиндра, $R_1 = 30$ см
Время вращения, $t = 1$ мин
Число оборотов первого цилиндра, $N_1 = 200$
Число оборотов второго цилиндра, $N_2 = 1000$

Перевод в СИ:
$R_1 = 0,3$ м
$t = 60$ с

Найти:

Радиус второго цилиндра, $R_2$ - ?

Решение:

Так как цилиндры соединены ремённой передачей, линейные скорости точек на их поверхностях равны, поскольку ремень движется с одинаковой скоростью по всей своей длине (при условии отсутствия проскальзывания).

$v_1 = v_2$

Линейная скорость $\text{v}$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $\text{R}$ соотношением $v = \omega R$. Следовательно, можно записать:

$\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$

Угловая скорость $\omega$ пропорциональна частоте вращения $\nu$, которая, в свою очередь, определяется как число оборотов $\text{N}$ за единицу времени $\text{t}$ ($\nu = N/t$). Формула для угловой скорости: $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \frac{N}{t}$.

Подставим это выражение в наше равенство:

$2 \pi \frac{N_1}{t} R_1 = 2 \pi \frac{N_2}{t} R_2$

Поскольку время вращения $\text{t}$ для обоих цилиндров одинаково, а $2\pi$ — константа, мы можем сократить эти множители с обеих сторон уравнения. Получаем простое соотношение:

$N_1 R_1 = N_2 R_2$

Из этого соотношения выразим искомый радиус второго цилиндра $R_2$:

$R_2 = R_1 \frac{N_1}{N_2}$

Подставим числовые значения. Можно использовать радиус в сантиметрах, так как отношение $N_1/N_2$ безразмерно, и ответ также получится в сантиметрах.

$R_2 = 30 \text{ см} \cdot \frac{200}{1000} = 30 \text{ см} \cdot 0,2 = 6 \text{ см}$

Ответ: радиус второго цилиндра равен 6 см.