Вариант 2, страница 13 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Кинематика. Механика - страница 13.

Условие.

Вариант 3

1. Тело брошено с земли под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к горизонту со скоростью 40 м/с. Запишите зависимости от времени вертикальной и горизонтальной координат тела.

2. Определите скорость камня, брошенного с высоты 20 м под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту со скоростью 40 м/с, в точке максимального подъёма.

Решение.

1. Дано:

$\alpha = 60^\circ$

$v_0 = 40$ м/с

Найти:

$x(t)$

$y(t)$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного по вертикали (ось OY). Ускорение по вертикали равно ускорению свободного падения $\text{g}$, направленному вниз.

Выберем систему координат с началом в точке броска. Ось OX направим горизонтально в сторону полета, а ось OY — вертикально вверх. В этом случае начальные координаты тела $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Проекции начальной скорости на оси координат равны:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Зависимость горизонтальной координаты от времени $\text{t}$ описывается уравнением равномерного движения:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t = v_0 \cos(\alpha) t$

Зависимость вертикальной координаты от времени $\text{t}$ описывается уравнением равноускоренного движения (с ускорением $a_y = -g$):

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим данные из условия задачи. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$x(t) = 40 \cdot \cos(60^\circ) \cdot t = 40 \cdot 0.5 \cdot t = 20t$

$y(t) = 40 \cdot \sin(60^\circ) \cdot t - \frac{10t^2}{2} = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t - 5t^2 = 20\sqrt{3}t - 5t^2$

Таким образом, мы получили искомые зависимости координат от времени.

Ответ: зависимость горизонтальной координаты от времени: $x(t) = 20t$; зависимость вертикальной координаты от времени: $y(t) = 20\sqrt{3}t - 5t^2$.

2. Дано:

$h_0 = 20$ м

$\alpha = 45^\circ$

$v_0 = 40$ м/с

Найти:

$\text{v}$ — скорость в точке максимального подъема

Решение:

Вектор скорости тела в любой момент времени можно разложить на две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$.

При движении тела под углом к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха) горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на всем протяжении полета, так как в этом направлении не действует ускорение. Она равна своей начальной величине:

$v_x = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ изменяется под действием силы тяжести. Точка максимального подъема — это точка траектории, в которой тело на мгновение прекращает подниматься и начинает падать. В этой точке вертикальная составляющая скорости равна нулю:

$v_y = 0$

Следовательно, полная скорость тела в точке максимального подъема равна ее горизонтальной составляющей. Начальная высота броска $h_0 = 20$ м не влияет на это значение, она влияет только на абсолютную высоту этой точки относительно земли.

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0 \cos(\alpha))^2 + 0^2} = v_0 \cos(\alpha)$

Подставим числовые значения из условия:

$v = 40 \cdot \cos(45^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v \approx 20 \cdot 1.414 \approx 28.28 \text{ м/с}$

Ответ: $20\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 28.3 м/с).