Вариант 3, страница 10 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 5. Путь и перемещение при равноускоренном прямолинейном движении. Кинематика. Механика - страница 10.

Условие.

Вариант 3

1. Материальная точка движется по прямой с постоянным ускорением $0,4 \text{ м/с}^2$ из состояния покоя. Начальная координата тела составляет $2 \text{ м}$. Запишите уравнение движения и определите пройденный путь за $10 \text{ с}$ движения.

2. Тело совершает движение согласно графику, представленному на рисунке. Определите весь путь, пройденный телом, и значение ускорения в промежутке времени от $5 \text{ с}$ до $10 \text{ с}$.

Решение.

1. Дано:

$a = 0,4 \, м/с²$
$v_0 = 0 \, м/с$ (из состояния покоя)
$x_0 = 2 \, м$
$t = 10 \, с$

Найти:

Уравнение движения $x(t)$ - ?
Пройденный путь $\text{S}$ - ?

Решение:

Общее уравнение для равноускоренного прямолинейного движения имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

Подставим в это уравнение известные нам значения: начальную координату $x_0 = 2$ м, начальную скорость $v_0 = 0$ м/с и ускорение $a = 0,4$ м/с².

$x(t) = 2 + 0 \cdot t + \frac{0,4 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение движения:

$x(t) = 2 + 0,2t^2$

Теперь определим пройденный путь за $t = 10$ с. Поскольку движение начинается из состояния покоя и происходит в одном направлении, пройденный путь можно найти по формуле:

$S = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается:

$S = \frac{at^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{0,4 \, м/с² \cdot (10 \, с)^2}{2} = \frac{0,4 \cdot 100}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, м$

Ответ: Уравнение движения: $x(t) = 2 + 0,2t^2$. Пройденный путь за 10 с составляет 20 м.

2. Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Найти:

Весь пройденный путь $S_{общ}$ - ?
Ускорение $\text{a}$ в промежутке от 5 до 10 с - ?

Решение:

1. Определение всего пройденного пути.

Пройденный путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени. Поскольку путь - величина скалярная, мы суммируем площади всех участков по модулю. Разобьем движение на участки, где скорость не меняет знак или характер движения.

Участок 1 (от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 5$ с): Скорость положительна. Путь равен площади треугольника над осью времени.

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot (5 - 0) \cdot 5 = 12,5 \, м$

Участок 2 (от $t_2 = 5$ с до $t_3 = 10$ с): Скорость отрицательна. Путь равен площади треугольника под осью времени.

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot (10 - 5) \cdot |-5| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5 \, м$

Участок 3 (от $t_3 = 10$ с до $t_4 = 30$ с): Скорость постоянна и отрицательна. Путь равен площади прямоугольника под осью времени.

$S_3 = (30 - 10) \cdot |-5| = 20 \cdot 5 = 100 \, м$

Участок 4 (от $t_4 = 30$ с до $t_5 = 35$ с): Скорость отрицательна, но её модуль уменьшается. Путь равен площади треугольника под осью времени.

$S_4 = \frac{1}{2} \cdot (35 - 30) \cdot |-5| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5 \, м$

Весь пройденный путь — это сумма путей на всех участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 12,5 + 12,5 + 100 + 12,5 = 137,5 \, м$

2. Определение ускорения в промежутке времени от 5 до 10 с.

Ускорение на графике $v_x(t)$ — это тангенс угла наклона (или производная скорости по времени).

$a = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_{x2} - v_{x1}}{t_2 - t_1}$

Из графика находим: в момент времени $t_1 = 5$ с скорость $v_{x1} = 0$ м/с, а в момент времени $t_2 = 10$ с скорость $v_{x2} = -5$ м/с.

$a = \frac{-5 \, м/с - 0 \, м/с}{10 \, с - 5 \, с} = \frac{-5}{5} = -1 \, м/с²$

Ответ: Весь пройденный телом путь равен 137,5 м. Ускорение в промежутке времени от 5 до 10 с равно -1 м/с².