Вариант 5*, страница 79 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электродинамика. Постоянный электрический ток. Контрольная работа. Электростатика. Законы постоянного тока - страница 79.

Условие.

Вариант 5*

1. Две отрицательно заряженные пылинки расположены на расстоянии 32 мкм в среде с диэлектрической проницаемостью 9. Сила их взаимодействия равна 22,5 пН. Какое количество электронов находится на каждой из пылинок, если их заряды равны? ($|e| = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл.})$

2. Два точечных заряда $-10^{-8} \text{ Кл}$ и 1 нКл расположены на расстоянии 1,1 м. Определите напряжённость электрического поля в точке с потенциалом, равным 0, на прямой линии, соединяющей заряды.

3. Два конденсатора, ёмкости которых 4 мкФ и 6 мкФ, зарядили до разности потенциалов 300 В и 200 В соответственно. После того как конденсаторы отключили от источников тока, их соединили между собой параллельно разноимённо заряженными пластинами. Определите разность потенциалов между обкладками конденсаторов.

4. К источнику тока сначала присоединили два последовательно соединённых одинаковых резистора. Когда эти резисторы соединили параллельно, ток в цепи увеличился в 3 раза. Во сколько раз внутреннее сопротивление источника тока отличается от сопротивления одного из резисторов?

Решение.

1. Дано:

$r = 32 \text{ мкм} = 32 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$\varepsilon = 9$
$F = 22,5 \text{ пН} = 22,5 \cdot 10^{-12} \text{ Н}$
$q_1 = q_2 = q$
$|e| = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\text{N}$

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в диэлектрической среде определяется законом Кулона:

$F = \frac{k |q_1 q_2|}{\varepsilon r^2}$

Поскольку заряды пылинок равны ($q_1 = q_2 = q$), формула принимает вид:

$F = \frac{k q^2}{\varepsilon r^2}$

Выразим из этой формулы величину заряда $\text{q}$:

$q^2 = \frac{F \varepsilon r^2}{k}$

$q = \sqrt{\frac{F \varepsilon r^2}{k}}$

Подставим числовые значения:

$q = \sqrt{\frac{22,5 \cdot 10^{-12} \text{ Н} \cdot 9 \cdot (32 \cdot 10^{-6} \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}} = \sqrt{22,5 \cdot 10^{-12} \cdot 1024 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-9}} \text{ Кл} = \sqrt{23040 \cdot 10^{-33}} \text{ Кл} = \sqrt{23,04 \cdot 10^{-30}} \text{ Кл} = 4,8 \cdot 10^{-15} \text{ Кл}$

Заряд пылинки создается избыточными электронами. Заряд одной пылинки равен произведению количества электронов $\text{N}$ на элементарный заряд $|e|$:

$q = N \cdot |e|$

Отсюда найдем количество электронов:

$N = \frac{q}{|e|} = \frac{4,8 \cdot 10^{-15} \text{ Кл}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 3 \cdot 10^4 = 30000$

Ответ: на каждой пылинке находится 30000 электронов.

2. Дано:

$q_1 = -10^{-8} \text{ Кл}$
$q_2 = 1 \text{ нКл} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$d = 1,1 \text{ м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов. Точка с нулевым потенциалом может находиться только на прямой, соединяющей заряды, так как заряды разноименные. Поскольку $|q_1| > |q_2|$, эта точка будет лежать за пределами отрезка, соединяющего заряды, со стороны меньшего по модулю заряда $q_2$.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $\text{x}$ от заряда $q_2$ и на расстоянии $d+x$ от заряда $q_1$. Условие равенства потенциала нулю:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = 0$

$\frac{k q_1}{d+x} + \frac{k q_2}{x} = 0$

$\frac{q_1}{d+x} = -\frac{q_2}{x}$

$q_1 x = -q_2 (d+x)$

$q_1 x = -q_2 d - q_2 x$

$x(q_1 + q_2) = -q_2 d$

$x = -\frac{q_2 d}{q_1 + q_2}$

Подставим значения:

$x = -\frac{1 \cdot 10^{-9} \cdot 1,1}{-10 \cdot 10^{-9} + 1 \cdot 10^{-9}} = -\frac{1,1 \cdot 10^{-9}}{-9 \cdot 10^{-9}} = \frac{1,1}{9} \approx 0,122 \text{ м}$

Теперь найдем напряженность электрического поля в этой точке. Напряженность - векторная величина. Вектор напряженности от отрицательного заряда $q_1$ направлен к нему, а от положительного $q_2$ - от него. В найденной точке оба вектора будут направлены в одну сторону (вдоль прямой от $q_2$ к $q_1$). Поэтому результирующая напряженность равна сумме модулей напряженностей.

$E = E_1 + E_2 = \frac{k |q_1|}{(d+x)^2} + \frac{k |q_2|}{x^2}$

Рассчитаем расстояния:

$x = \frac{1,1}{9} \text{ м}$

$d+x = 1,1 + \frac{1,1}{9} = \frac{9,9+1,1}{9} = \frac{11}{9} \text{ м}$

Подставим в формулу для напряженности:

$E = k \left( \frac{|q_1|}{(d+x)^2} + \frac{|q_2|}{x^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{10 \cdot 10^{-9}}{(\frac{11}{9})^2} + \frac{1 \cdot 10^{-9}}{(\frac{1,1}{9})^2} \right)$

$E = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{10 \cdot 81}{121} + \frac{1 \cdot 81}{1,21} \right) = 9 \left( \frac{810}{121} + \frac{8100}{121} \right) = 9 \left( \frac{8910}{121} \right) \approx 9 \cdot 73,636 = 662,73 \text{ В/м}$

Ответ: напряженность электрического поля в точке с потенциалом, равным 0, составляет примерно 663 В/м.

3. Дано:

$C_1 = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U_1 = 300 \text{ В}$
$C_2 = 6 \text{ мкФ} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U_2 = 200 \text{ В}$

Найти:

$U_{final}$

Решение:

Найдем начальные заряды на каждом конденсаторе:

$q_1 = C_1 U_1 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 300 \text{ В} = 1200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

$q_2 = C_2 U_2 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 200 \text{ В} = 1200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

После отключения от источников конденсаторы образуют замкнутую систему. При соединении их параллельно разноименно заряженными пластинами общий заряд системы будет равен разности начальных зарядов (по закону сохранения заряда).

$q_{total} = |q_1 - q_2| = |1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл} - 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}| = 0 \text{ Кл}$

При параллельном соединении общая емкость батареи конденсаторов равна сумме их емкостей:

$C_{total} = C_1 + C_2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} + 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Разность потенциалов на обкладках батареи конденсаторов после соединения:

$U_{final} = \frac{q_{total}}{C_{total}} = \frac{0 \text{ Кл}}{10^{-5} \text{ Ф}} = 0 \text{ В}$

Ответ: разность потенциалов между обкладками конденсаторов будет равна 0 В.

4. Решение:

Пусть ЭДС источника тока равна $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление $\text{r}$. Сопротивление каждого из одинаковых резисторов равно $\text{R}$.

Случай 1: Последовательное соединение.

Общее внешнее сопротивление цепи $R_{seq} = R + R = 2R$.

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{seq} + r} = \frac{\mathcal{E}}{2R + r}$

Случай 2: Параллельное соединение.

Общее внешнее сопротивление цепи $R_{par} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$.

Сила тока в цепи:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{par} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R}{2} + r}$

По условию задачи, $I_2 = 3I_1$. Подставим выражения для токов:

$\frac{\mathcal{E}}{\frac{R}{2} + r} = 3 \cdot \frac{\mathcal{E}}{2R + r}$

Сократим $\mathcal{E}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{\frac{R}{2} + r} = \frac{3}{2R + r}$

$2R + r = 3 \left(\frac{R}{2} + r\right)$

$2R + r = \frac{3}{2}R + 3r$

$2R - \frac{3}{2}R = 3r - r$

$\frac{4R - 3R}{2} = 2r$

$\frac{1}{2}R = 2r$

$R = 4r$

Это означает, что сопротивление одного резистора в 4 раза больше внутреннего сопротивления источника, или, что внутреннее сопротивление в 4 раза меньше сопротивления одного из резисторов.

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока в 4 раза меньше сопротивления одного из резисторов.