Вариант 3, страница 78 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электродинамика. Постоянный электрический ток. Контрольная работа. Электростатика. Законы постоянного тока - страница 78.

Условие.

Вариант 3

1. Два одинаковых маленьких шарика расположены на расстоянии $1 \text{ м}$ друг от друга. Заряд первого шарика по модулю в 4 раза больше заряда второго. Шарики привели в соприкосновение и затем развели на расстояние, при котором сила взаимодействия шариков равнялась первоначальной. Определите это расстояние.

2. Два точечных заряда $8,89 \text{ нКл}$ и $-12 \text{ нКл}$ расположены на расстоянии $5 \text{ см}$ друг от друга. Определите напряжённость и потенциал электрического поля в точке, находящейся на расстоянии $4 \text{ см}$ от первого заряда и на расстоянии $3 \text{ см}$ от второго заряда.

3. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора равно $1 \text{ мм}$. Напряжённость электрического поля внутри конденсатора составляет $1000 \text{ В/м}$. Определите энергию конденсатора, если его ёмкость равна $4 \text{ мкФ}$.

4. При силе тока $3 \text{ А}$ на нагрузке полной цепи выделяется мощность $18 \text{ Вт}$, а при силе тока $1 \text{ А}$ — мощность $10 \text{ Вт}$. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.

Решение.

1. Дано:

$r_1 = 1$ м

$|q_1| = 4|q_2|$

$F_2 = F_1$

Найти:

$r_2$ - ?

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.

Начальная сила взаимодействия шариков на расстоянии $r_1$ равна $F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$.

Поскольку в условии не указаны знаки зарядов, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Заряды одноимённые (оба положительные или оба отрицательные).

Пусть заряд второго шарика $q_2 = q$, тогда заряд первого $q_1 = 4q$.

Начальная сила: $F_1 = k \frac{|(4q)(q)|}{r_1^2} = k \frac{4q^2}{r_1^2}$.

После соприкосновения одинаковых шариков их суммарный заряд $q_{общ} = q_1 + q_2 = 4q + q = 5q$ распределяется между ними поровну. Заряд каждого шарика становится $q' = \frac{q_{общ}}{2} = \frac{5q}{2}$.

Сила взаимодействия после разведения шариков на расстояние $r_2$: $F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k \frac{(\frac{5q}{2})^2}{r_2^2} = k \frac{25q^2}{4r_2^2}$.

По условию $F_1 = F_2$, следовательно:

$k \frac{4q^2}{r_1^2} = k \frac{25q^2}{4r_2^2}$

$\frac{4}{r_1^2} = \frac{25}{4r_2^2}$

$16r_2^2 = 25r_1^2 \implies r_2 = \sqrt{\frac{25}{16}}r_1 = \frac{5}{4}r_1 = \frac{5}{4} \cdot 1 \text{ м} = 1.25$ м.

Случай 2: Заряды разноимённые.

Пусть заряд второго шарика $q_2 = q$, тогда заряд первого $q_1 = -4q$.

Начальная сила: $F_1 = k \frac{|(-4q)(q)|}{r_1^2} = k \frac{4q^2}{r_1^2}$.

После соприкосновения суммарный заряд $q_{общ} = q_1 + q_2 = -4q + q = -3q$. Заряд каждого шарика становится $q' = \frac{q_{общ}}{2} = -\frac{3q}{2}$.

Сила взаимодействия после разведения на расстояние $r_2$: $F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k \frac{(-\frac{3q}{2})^2}{r_2^2} = k \frac{9q^2}{4r_2^2}$.

Приравнивая силы $F_1 = F_2$:

$k \frac{4q^2}{r_1^2} = k \frac{9q^2}{4r_2^2}$

$\frac{4}{r_1^2} = \frac{9}{4r_2^2}$

$16r_2^2 = 9r_1^2 \implies r_2 = \sqrt{\frac{9}{16}}r_1 = \frac{3}{4}r_1 = \frac{3}{4} \cdot 1 \text{ м} = 0.75$ м.

Ответ: искомое расстояние равно 1,25 м, если заряды были одноимёнными, или 0,75 м, если заряды были разноимёнными.

2. Дано:

$q_1 = 8.89$ нКл $= 8.89 \times 10^{-9}$ Кл

$q_2 = -12$ нКл $= -12 \times 10^{-9}$ Кл

$d = 5$ см $= 0.05$ м

$r_1 = 4$ см $= 0.04$ м

$r_2 = 3$ см $= 0.03$ м

Найти:

$\text{E}$ - ?, $\varphi$ - ?

Решение:

Сначала определим потенциал поля в заданной точке. Потенциал является скалярной величиной, поэтому результирующий потенциал равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2}$

где $k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ - коэффициент в законе Кулона.

Подставим значения:

$\varphi = 9 \times 10^9 \left( \frac{8.89 \times 10^{-9}}{0.04} + \frac{-12 \times 10^{-9}}{0.03} \right) = 9 \left( \frac{8.89}{0.04} - \frac{12}{0.03} \right)$

$\varphi = 9 (222.25 - 400) = 9(-177.75) = -1599.75$ В.

Теперь определим напряжённость электрического поля. Напряжённость - векторная величина. Результирующий вектор напряжённости $\vec{E}$ равен векторной сумме векторов напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ соответственно: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Расстояния от зарядов до точки ($r_1 = 4$ см, $r_2 = 3$ см) и расстояние между зарядами ($d = 5$ см) удовлетворяют теореме Пифагора: $r_1^2 + r_2^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2 = d^2$. Это означает, что точка и заряды образуют прямоугольный треугольник, где прямой угол находится в искомой точке. Следовательно, векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ перпендикулярны друг другу.

Найдём модули векторов напряжённости:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \times 10^9 \frac{8.89 \times 10^{-9}}{(0.04)^2} = \frac{80.01}{0.0016} \approx 50006$ В/м.

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{|-12 \times 10^{-9}|}{(0.03)^2} = \frac{108}{0.0009} = 120000$ В/м.

Модуль результирующего вектора напряжённости найдём по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(50006)^2 + (120000)^2} \approx \sqrt{2.5 \times 10^9 + 14.4 \times 10^9} = \sqrt{16.9 \times 10^9} \approx 1.3 \times 10^5$ В/м.

Ответ: напряжённость поля $E \approx 1.3 \times 10^5$ В/м, потенциал поля $\varphi = -1599.75$ В.

3. Дано:

$d = 1$ мм $= 1 \times 10^{-3}$ м

$E = 1000$ В/м $= 10^3$ В/м

$C = 4$ мкФ $= 4 \times 10^{-6}$ Ф

Найти:

$\text{W}$ - ?

Решение:

Энергия, запасённая в конденсаторе, вычисляется по формуле $W = \frac{1}{2} C U^2$, где $\text{C}$ - ёмкость конденсатора, а $\text{U}$ - напряжение (разность потенциалов) между его пластинами.

Напряжение можно найти, зная напряжённость электрического поля $\text{E}$ и расстояние между пластинами $\text{d}$. Для плоского конденсатора с однородным полем справедливо соотношение:

$U = E \cdot d$

Подставим числовые значения:

$U = 1000 \text{ В/м} \cdot 1 \times 10^{-3} \text{ м} = 1$ В.

Теперь можем рассчитать энергию конденсатора:

$W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot (4 \times 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (1 \text{ В})^2 = 2 \times 10^{-6}$ Дж.

Ответ: энергия конденсатора составляет $2 \times 10^{-6}$ Дж (или 2 мкДж).

4. Дано:

$I_1 = 3$ А

$P_1 = 18$ Вт

$I_2 = 1$ А

$P_2 = 10$ Вт

Найти:

$\mathcal{E}$ - ?, $\text{r}$ - ?

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $\mathcal{E}$ - ЭДС источника, $\text{r}$ - его внутреннее сопротивление, $\text{R}$ - сопротивление внешней нагрузки, $\text{I}$ - сила тока в цепи.

Мощность $\text{P}$, выделяемая на внешней нагрузке, связана с силой тока и сопротивлением соотношением $P = I^2 R$. Отсюда можно выразить внешнее сопротивление $R = \frac{P}{I^2}$.

Рассмотрим два случая, описанные в задаче.

1. Для первого случая:

Сопротивление нагрузки $R_1 = \frac{P_1}{I_1^2} = \frac{18 \text{ Вт}}{(3 \text{ А})^2} = \frac{18}{9} = 2$ Ом.

Уравнение закона Ома: $\mathcal{E} = I_1 (R_1 + r) = 3(2 + r)$.

2. Для второго случая:

Сопротивление нагрузки $R_2 = \frac{P_2}{I_2^2} = \frac{10 \text{ Вт}}{(1 \text{ А})^2} = \frac{10}{1} = 10$ Ом.

Уравнение закона Ома: $\mathcal{E} = I_2 (R_2 + r) = 1(10 + r) = 10 + r$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\mathcal{E}$ и $\text{r}$:

$\begin{cases} \mathcal{E} = 3(2 + r) \\ \mathcal{E} = 10 + r \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти $\text{r}$:

$3(2 + r) = 10 + r$

$6 + 3r = 10 + r$

$2r = 4$

$r = 2$ Ом.

Теперь подставим найденное значение $\text{r}$ в любое из уравнений для нахождения $\mathcal{E}$. Воспользуемся вторым уравнением:

$\mathcal{E} = 10 + r = 10 + 2 = 12$ В.

Ответ: ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12$ В, внутреннее сопротивление $r = 2$ Ом.