Вариант 4, страница 78 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Электродинамика. Постоянный электрический ток. Контрольная работа. Электростатика. Законы постоянного тока - страница 78.

Условие.

Вариант 4

1. Два точечных заряда $q_0$ и $4q_0$ находятся на некотором расстоянии друг от друга. Заряды привели в соприкосновение, а затем развели в стороны. Во сколько раз должно измениться расстояние между зарядами, чтобы сила их взаимодействия равнялась прежней?

2. Два точечных заряда 4 нКл и 1 нКл расположены на расстоянии 5 м. Определите напряжённость и потенциал электрического поля в точке, которая находится на расстоянии 2 м от первого заряда и на расстоянии 3 м от второго заряда.

3. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Чему будет равна разность потенциалов между пластинами этого конденсатора, если расстояние между ними уменьшить вдвое?

4. К источнику тока подключили нагревательный элемент, сопротивление которого 4 Ом. Когда к тому же источнику подключили электроприбор сопротивлением 9 Ом, выяснилось, что количество теплоты во внешней цепи выделяется такое же. Определите внутреннее сопротивление источника тока.

Решение.

1. Дано:

Начальные заряды: $q_1 = q_0$, $q_2 = 4q_0$

Начальное расстояние: $r_1$

Конечное расстояние: $r_2$

Сила взаимодействия до и после одинакова: $F_1 = F_2$

Найти:

Отношение расстояний $\frac{r_2}{r_1}$

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов до соприкосновения определяется законом Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} = k \frac{|q_0 \cdot 4q_0|}{r_1^2} = 4k \frac{q_0^2}{r_1^2}$

При соприкосновении зарядов их суммарный заряд перераспределяется между ними поровну (предполагая, что тела одинаковы). Суммарный заряд:

$Q = q_1 + q_2 = q_0 + 4q_0 = 5q_0$

После соприкосновения и разведения на каждом теле будет заряд:

$q'_1 = q'_2 = \frac{Q}{2} = \frac{5q_0}{2} = 2.5q_0$

Теперь сила взаимодействия между этими зарядами на расстоянии $r_2$ равна:

$F_2 = k \frac{|q'_1 q'_2|}{r_2^2} = k \frac{|(2.5q_0) \cdot (2.5q_0)|}{r_2^2} = 6.25k \frac{q_0^2}{r_2^2}$

По условию задачи, сила взаимодействия не изменилась, то есть $F_1 = F_2$:

$4k \frac{q_0^2}{r_1^2} = 6.25k \frac{q_0^2}{r_2^2}$

Сокращаем одинаковые множители $\text{k}$ и $q_0^2$:

$\frac{4}{r_1^2} = \frac{6.25}{r_2^2}$

Выразим отношение квадратов расстояний:

$\frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{6.25}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти, во сколько раз должно измениться расстояние:

$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{6.25}{4}} = \frac{2.5}{2} = 1.25$

Ответ: Расстояние должно увеличиться в 1,25 раза.

2. Дано:

$q_1 = 4$ нКл

$q_2 = 1$ нКл

$d = 5$ м

$r_1 = 2$ м

$r_2 = 3$ м

---

$q_1 = 4 \times 10^{-9}$ Кл

$q_2 = 1 \times 10^{-9}$ Кл

$k \approx 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Напряжённость $\text{E}$ и потенциал $\phi$ в указанной точке.

Решение:

Поскольку сумма расстояний от точки до зарядов $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$ м равна расстоянию между зарядами $\text{d}$, точка находится на прямой, соединяющей заряды, между ними.

1. Напряжённость поля (E).

Напряжённость — векторная величина. Вектор напряжённости $E_1$, создаваемый зарядом $q_1$, направлен от $q_1$. Вектор $E_2$, создаваемый зарядом $q_2$, направлен от $q_2$. Так как точка находится между зарядами, векторы $E_1$ и $E_2$ направлены в противоположные стороны. Результирующая напряжённость $\text{E}$ будет равна разности их модулей:

$E = |E_1 - E_2|$

Модули напряжённостей:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \times 10^9 \frac{4 \times 10^{-9}}{2^2} = 9 \times \frac{4}{4} = 9$ В/м

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{1 \times 10^{-9}}{3^2} = 9 \times \frac{1}{9} = 1$ В/м

Результирующая напряжённость:

$E = 9 - 1 = 8$ В/м

Направлена в сторону меньшего заряда, так как $E_1 > E_2$.

2. Потенциал поля ($\phi$).

Потенциал — скалярная величина. По принципу суперпозиции, результирующий потенциал в точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

$\phi = \phi_1 + \phi_2$

Потенциалы, создаваемые зарядами:

$\phi_1 = k \frac{q_1}{r_1} = 9 \times 10^9 \frac{4 \times 10^{-9}}{2} = 18$ В

$\phi_2 = k \frac{q_2}{r_2} = 9 \times 10^9 \frac{1 \times 10^{-9}}{3} = 3$ В

Результирующий потенциал:

$\phi = 18 + 3 = 21$ В

Ответ: Напряжённость поля равна 8 В/м, потенциал равен 21 В.

3. Дано:

Начальная разность потенциалов $U_1 = 600$ В

Конденсатор отключен от источника, значит заряд $q = const$

Конечное расстояние между пластинами $d_2 = d_1 / 2$

Найти:

Конечную разность потенциалов $U_2$

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

Начальная ёмкость: $C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$

Когда расстояние уменьшили вдвое ($d_2 = d_1/2$), новая ёмкость стала:

$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1/2} = 2 \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} = 2C_1$

Таким образом, ёмкость конденсатора увеличилась в 2 раза.

Заряд на конденсаторе, его ёмкость и разность потенциалов связаны соотношением $q = C \cdot U$.

Так как конденсатор был отключен от источника, его заряд остался неизменным: $q_1 = q_2 = q$.

Следовательно:

$C_1 U_1 = C_2 U_2$

Выразим отсюда искомую разность потенциалов $U_2$:

$U_2 = U_1 \frac{C_1}{C_2}$

Подставим соотношение $C_2 = 2C_1$:

$U_2 = U_1 \frac{C_1}{2C_1} = \frac{U_1}{2}$

Вычислим значение:

$U_2 = \frac{600 \text{ В}}{2} = 300 \text{ В}$

Ответ: Разность потенциалов станет равна 300 В.

4. Дано:

Сопротивление первого элемента $R_1 = 4$ Ом

Сопротивление второго прибора $R_2 = 9$ Ом

Выделяемая тепловая мощность в обоих случаях одинакова: $P_1 = P_2$

ЭДС источника $\mathcal{E}$ и его внутреннее сопротивление $\text{r}$ постоянны.

Найти:

Внутреннее сопротивление источника $\text{r}$.

Решение:

Количество теплоты, выделяемое во внешней цепи за время $\text{t}$, равно $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ — мощность. Если за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты, значит, мощности равны.

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставив выражение для тока в формулу мощности, получим:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R$

По условию, мощность для $R_1$ и $R_2$ одинакова:

$P_1 = P_2$

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_1+r}\right)^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2+r}\right)^2 R_2$

Сократим $\mathcal{E}^2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Подставим числовые значения $R_1=4$ Ом и $R_2=9$ Ом:

$\frac{4}{(4+r)^2} = \frac{9}{(9+r)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как сопротивления и их суммы — величины положительные, получаем:

$\frac{2}{4+r} = \frac{3}{9+r}$

Решим это уравнение относительно $\text{r}$ методом перекрестного умножения:

$2(9+r) = 3(4+r)$

$18 + 2r = 12 + 3r$

$3r - 2r = 18 - 12$

$r = 6$ Ом

Ответ: Внутреннее сопротивление источника тока равно 6 Ом.