Номер 4, страница 165 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 3. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Примеры решения задач на законы сохранения - номер 4, страница 165.

Условие.

4. Белый шар налетел на покоящийся красный шар. Массы шаров одинаковы, удар можно считать упругим. Скорость белого шара перед столкновением 5 м/с. Какова скорость красного шара после столкновения?

Решение.

Дано:

Масса белого шара: $m_1$

Масса красного шара: $m_2$

Начальная скорость белого шара: $v_1 = 5 \text{ м/с}$

Начальная скорость красного шара: $v_2 = 0 \text{ м/с}$

Массы шаров равны: $m_1 = m_2 = m$

Удар упругий.

Найти:

Скорость красного шара после столкновения: $v'_2$

Решение:

Поскольку удар упругий, для системы, состоящей из двух шаров, выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса:

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. В проекции на ось, совпадающую с направлением движения белого шара, закон имеет вид:

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2$

где $v'_1$ и $v'_2$ — скорости белого и красного шаров после столкновения соответственно.

Подставим в уравнение условия задачи: $m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$.

$mv_1 + m \cdot 0 = mv'_1 + mv'_2$

$mv_1 = m(v'_1 + v'_2)$

Сократив массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения, получим:

$v_1 = v'_1 + v'_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1(v'_1)^2 + \frac{1}{2}m_2(v'_2)^2$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}m \cdot 0^2 = \frac{1}{2}m(v'_1)^2 + \frac{1}{2}m(v'_2)^2$

Сократив $\frac{1}{2}m$ в обеих частях, получим:

$v_1^2 = (v'_1)^2 + (v'_2)^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($v'_1$ и $v'_2$):

$\begin{cases} v_1 = v'_1 + v'_2 \\ v_1^2 = (v'_1)^2 + (v'_2)^2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v'_1$:

$v'_1 = v_1 - v'_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$v_1^2 = (v_1 - v'_2)^2 + (v'_2)^2$

$v_1^2 = v_1^2 - 2v_1v'_2 + (v'_2)^2 + (v'_2)^2$

$0 = -2v_1v'_2 + 2(v'_2)^2$

$2v'_2(v'_2 - v_1) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

а) $v'_2 = 0$. Это решение означает, что красный шар остался неподвижным, а скорость белого шара не изменилась ($v'_1 = v_1$). Такая ситуация соответствует случаю, когда шары не столкнулись. Это решение не имеет физического смысла для нашей задачи.

б) $v'_2 - v_1 = 0$, что означает $v'_2 = v_1$. Это решение описывает результат столкновения. В этом случае скорость белого шара после удара будет $v'_1 = v_1 - v'_2 = v_1 - v_1 = 0$.

Таким образом, при упругом столкновении двух шаров одинаковой массы, один из которых покоился, они обмениваются скоростями: налетающий шар останавливается, а покоившийся начинает двигаться со скоростью, которую имел первый шар до столкновения.

Вычисляем скорость красного шара после столкновения:

$v'_2 = v_1 = 5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость красного шара после столкновения равна 5 м/с.