Номер 6, страница 166 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 3. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Примеры решения задач на законы сохранения - номер 6, страница 166.

Условие.

6. Тело массой 1 кг, закреплённое на нити, описывает окружность в вертикальной плоскости. На сколько вес тела в нижней точке круга больше, чем в верхней точке?

Решение.

Дано:

$m = 1 \text{ кг}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta P = P_н - P_в$

Решение:

Вес тела ($\text{P}$) – это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. В данном случае тело подвешено на нити, поэтому его вес по модулю равен силе натяжения нити ($\text{T}$). Нам необходимо найти разность веса тела в нижней ($P_н$) и верхней ($P_в$) точках окружности.

$\Delta P = P_н - P_в = T_н - T_в$

Запишем второй закон Ньютона для тела в верхней и нижней точках траектории. Ось OY направим вертикально вверх, с началом в центре окружности.

1. В нижней точке траектории на тело действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_н$, направленная вверх (к центру окружности). Ускорение тела в этой точке является центростремительным и также направлено вверх. Второй закон Ньютона в проекции на ось OY:

$T_н - mg = m a_н = m \frac{v_н^2}{R}$

Отсюда сила натяжения (и вес) в нижней точке:

$P_н = T_н = mg + m \frac{v_н^2}{R}$

где $v_н$ – скорость тела в нижней точке, а $\text{R}$ – радиус окружности (длина нити).

2. В верхней точке траектории и сила тяжести $mg$, и сила натяжения нити $T_в$ направлены вниз (к центру окружности). Центростремительное ускорение также направлено вниз. Второй закон Ньютона в проекции на ось OY (направленную вниз, к центру):

$T_в + mg = m a_в = m \frac{v_в^2}{R}$

Отсюда сила натяжения (и вес) в верхней точке:

$P_в = T_в = m \frac{v_в^2}{R} - mg$

где $v_в$ – скорость тела в верхней точке.

3. Найдем разность весов:

$\Delta P = P_н - P_в = \left(mg + m \frac{v_н^2}{R}\right) - \left(m \frac{v_в^2}{R} - mg\right) = 2mg + \frac{m}{R}(v_н^2 - v_в^2)$

4. Чтобы найти связь между скоростями $v_н$ и $v_в$, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку траектории ($h_н=0$). Тогда высота тела в верхней точке будет $h_в = 2R$.

Энергия в нижней точке: $E_н = \frac{1}{2} m v_н^2$

Энергия в верхней точке: $E_в = \frac{1}{2} m v_в^2 + mg(2R)$

По закону сохранения энергии $E_н = E_в$:

$\frac{1}{2} m v_н^2 = \frac{1}{2} m v_в^2 + 2mgR$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{m}$:

$v_н^2 = v_в^2 + 4gR$

Отсюда $v_н^2 - v_в^2 = 4gR$.

5. Подставим полученное выражение для разности квадратов скоростей в формулу для $\Delta P$:

$\Delta P = 2mg + \frac{m}{R}(4gR) = 2mg + 4mg = 6mg$

Как видно из итоговой формулы, разность веса не зависит от радиуса окружности и скоростей движения тела.

6. Выполним расчет:

$\Delta P = 6 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 58.8 \text{ Н}$

Ответ: вес тела в нижней точке круга больше, чем в верхней, на $58.8 \text{ Н}$.