Номер 5, страница 165 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 3. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Примеры решения задач на законы сохранения - номер 5, страница 165.

Условие.

5. На нерастяжимой нити подвешен шарик массой 100 г. Шарик отклоняют так, чтобы нить образовала некоторый угол с вертикалью, и отпускают без толчка. Каков этот угол, если при прохождении шариком положения равновесия сила натяжения нити равна:

а) 3 Н;

б) 2 Н?

Решение.

Дано:

масса шарика, $m = 100$ г

ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

а) сила натяжения нити в положении равновесия, $T_a = 3$ Н

б) сила натяжения нити в положении равновесия, $T_б = 2$ Н

Перевод в СИ:

$m = 0.1$ кг

Найти:

начальный угол отклонения нити, $\alpha$

Решение:

Рассмотрим движение шарика из начального положения в положение равновесия. Обозначим начальный угол отклонения нити от вертикали как $\alpha$, а длину нити как $\text{L}$.

В начальный момент времени шарик находится на высоте $\text{h}$ относительно положения равновесия. Эту высоту можно выразить через длину нити и угол: $h = L - L\cos(\alpha) = L(1 - \cos(\alpha))$.

Поскольку шарик отпускают без толчка, его начальная скорость равна нулю. Вся его энергия — это потенциальная энергия: $E_1 = E_p = mgh = mgL(1 - \cos(\alpha))$.

При прохождении положения равновесия высота шарика $h=0$, следовательно, его потенциальная энергия равна нулю. Вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию $E_2 = E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ – скорость шарика в нижней точке.

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$:

$mgL(1 - \cos(\alpha)) = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости шарика в положении равновесия:

$v^2 = 2gL(1 - \cos(\alpha))$ (1)

Теперь рассмотрим силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия. На него действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{L}$, направленное к центру окружности (вверх).

Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на вертикальную ось:

$T - mg = ma_c = m\frac{v^2}{L}$ (2)

Подставим выражение для $v^2$ из формулы (1) в формулу (2):

$T - mg = m\frac{2gL(1 - \cos(\alpha))}{L}$

Длина нити $\text{L}$ сокращается:

$T - mg = 2mg(1 - \cos(\alpha))$

$T - mg = 2mg - 2mg\cos(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:

$2mg\cos(\alpha) = 2mg + mg - T$

$2mg\cos(\alpha) = 3mg - T$

$\cos(\alpha) = \frac{3mg - T}{2mg} = \frac{3}{2} - \frac{T}{2mg}$

Теперь мы можем найти угол $\alpha$ для каждого из предложенных случаев.

а)

Подставляем в полученную формулу значение $T_a = 3$ Н:

$\cos(\alpha) = \frac{3}{2} - \frac{3 \text{ Н}}{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = 1.5 - \frac{3}{2} = 1.5 - 1.5 = 0$

Если $\cos(\alpha) = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б)

Подставляем в полученную формулу значение $T_б = 2$ Н:

$\cos(\alpha) = \frac{3}{2} - \frac{2 \text{ Н}}{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = 1.5 - \frac{2}{2} = 1.5 - 1 = 0.5$

Если $\cos(\alpha) = 0.5$, то угол $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.