Номер 50, страница 97, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 50, страница 97.

Условие.

50. Подвешенный к пружине жёсткостью $40 \text{ Н/м}$ груз массой $200 \text{ г}$ отводят в сторону и отпускают. В момент, когда груз проходит нижнюю точку траектории, длина пружины равна $40 \text{ см}$, а скорость груза равна $2 \text{ м/с}$.

а) Как направлено ускорение груза в нижней точке траектории? Чему оно равно по модулю?

б) Чему равна сила упругости пружины, когда груз проходит нижнюю точку траектории?

в) Чему равна длина недеформированной пружины?

г) Чему равна длина пружины, когда подвешенный к ней груз покоится?

Решение 2.

Дано:

$k = 40 \text{ Н/м}$

$m = 200 \text{ г}$

$L = 40 \text{ см}$

$v = 2 \text{ м/с}$

Примем $g = 10 \text{ м/с}^2$

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$L = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

а) направление и модуль ускорения $\text{a}$ в нижней точке

б) силу упругости $F_{упр}$ в нижней точке

в) длину недеформированной пружины $L_0$

г) длину пружины $L_{пок}$, когда груз покоится

Решение:

а) Как направлено ускорение груза в нижней точке траектории? Чему оно равно по модулю?
В нижней точке траектории груз совершает движение по дуге окружности. Ускорение груза в этой точке является центростремительным, так как вектор скорости меняет свое направление. Центростремительное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории, то есть в данном случае вертикально вверх к точке подвеса. Модуль центростремительного ускорения вычисляется по формуле:
$a = \frac{v^2}{R}$
где $\text{R}$ — радиус кривизны, который в нижней точке равен длине пружины $\text{L}$.
$a = \frac{v^2}{L} = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{0.4 \text{ м}} = \frac{4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.4 \text{ м}} = 10 \text{ м/с}^2$.
Ответ: Ускорение направлено вертикально вверх, его модуль равен $10 \text{ м/с}^2$.

б) Чему равна сила упругости пружины, когда груз проходит нижнюю точку траектории?
В нижней точке на груз действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы на ускорение:
$\vec{F}_{упр} + \vec{F}_т = m\vec{a}$
В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:
$F_{упр} - mg = ma$
Отсюда выразим силу упругости:
$F_{упр} = mg + ma = m(g + a)$
$F_{упр} = 0.2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 + 10 \text{ м/с}^2) = 0.2 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с}^2 = 4 \text{ Н}$.
Ответ: Сила упругости пружины равна $4 \text{ Н}$.

в) Чему равна длина недеформированной пружины?
Сила упругости связана с удлинением пружины законом Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta L$, где $\Delta L$ — удлинение пружины. Удлинение в нижней точке траектории равно разности текущей длины $\text{L}$ и длины в недеформированном состоянии $L_0$: $\Delta L = L - L_0$.
$F_{упр} = k(L - L_0)$
Выразим $L_0$:
$L - L_0 = \frac{F_{упр}}{k}$
$L_0 = L - \frac{F_{упр}}{k}$
$L_0 = 0.4 \text{ м} - \frac{4 \text{ Н}}{40 \text{ Н/м}} = 0.4 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.3 \text{ м}$.
Ответ: Длина недеформированной пружины равна $0.3 \text{ м}$ (или $30 \text{ см}$).

г) Чему равна длина пружины, когда подвешенный к ней груз покоится?
Когда груз покоится, он находится в положении равновесия. В этом случае сила упругости пружины $F_{упр.пок}$ уравновешивает силу тяжести $mg$.
$F_{упр.пок} = mg$
Используя закон Гука $F_{упр.пок} = k \cdot \Delta L_{пок}$, где $\Delta L_{пок} = L_{пок} - L_0$ — удлинение пружины в состоянии покоя.
$k(L_{пок} - L_0) = mg$
Выразим длину пружины в состоянии покоя $L_{пок}$:
$L_{пок} = L_0 + \frac{mg}{k}$
$L_{пок} = 0.3 \text{ м} + \frac{0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{40 \text{ Н/м}} = 0.3 \text{ м} + \frac{2 \text{ Н}}{40 \text{ Н/м}} = 0.3 \text{ м} + 0.05 \text{ м} = 0.35 \text{ м}$.
Ответ: Длина пружины, когда груз покоится, равна $0.35 \text{ м}$ (или $35 \text{ см}$).