Номер 45, страница 95, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 8. Силы упругости - номер 45, страница 95.

Условие.

45. Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом 100 м.

а) Во сколько раз вес автомобиля в верхней точке траектории меньше действующей на него силы тяжести?

б) С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы он находился в состоянии невесомости только в верхней точке траектории?

Решение 2.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 72$ км/ч
Радиус кривизны моста, $R = 100$ м

Перевод в систему СИ:
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

а) Во сколько раз вес автомобиля $\text{P}$ в верхней точке меньше силы тяжести $F_т$ (т.е. найти отношение $\frac{F_т}{P}$)
б) Скорость $v_{нев}$, при которой автомобиль будет в состоянии невесомости.

Решение:

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

а) Во сколько раз вес автомобиля в верхней точке траектории меньше действующей на него силы тяжести?

В верхней точке выпуклого моста на автомобиль действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру окружности, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее вниз:

$mg - N = m a_ц$

$mg - N = m \frac{v^2}{R}$

Вес автомобиля $\text{P}$ — это сила, с которой автомобиль давит на опору. По третьему закону Ньютона, вес равен по модулю силе нормальной реакции опоры: $P = N$.

Следовательно, выражение для веса автомобиля в верхней точке моста:

$P = N = mg - m \frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

Сила тяжести, действующая на автомобиль, равна $F_т = mg$.

Чтобы найти, во сколько раз вес меньше силы тяжести, найдем их отношение $\frac{F_т}{P}$:

$\frac{F_т}{P} = \frac{mg}{m(g - \frac{v^2}{R})} = \frac{g}{g - \frac{v^2}{R}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{F_т}{P} = \frac{10 \text{ м/с}^2}{10 \text{ м/с}^2 - \frac{(20 \text{ м/с})^2}{100 \text{ м}}} = \frac{10}{10 - \frac{400}{100}} = \frac{10}{10 - 4} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

Ответ: Вес автомобиля в верхней точке траектории меньше действующей на него силы тяжести в $\frac{5}{3}$ раза (приблизительно в 1,67 раза).

б) С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы он находился в состоянии невесомости только в верхней точке траектории?

Состояние невесомости наступает тогда, когда вес тела равен нулю, $P = 0$. Поскольку $P = N$, это означает, что и сила нормальной реакции опоры также равна нулю.

Воспользуемся формулой для веса, полученной в пункте а), и приравняем его к нулю:

$P = m(g - \frac{v_{нев}^2}{R}) = 0$

Так как масса автомобиля $m \neq 0$, то равенство будет выполняться при:

$g - \frac{v_{нев}^2}{R} = 0$

Отсюда $g = \frac{v_{нев}^2}{R}$.

Выразим искомую скорость $v_{нев}$:

$v_{нев}^2 = gR$

$v_{нев} = \sqrt{gR}$

Подставим числовые значения:

$v_{нев} = \sqrt{10 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м}} = \sqrt{1000} \text{ м/с} = 10\sqrt{10} \text{ м/с} \approx 31,6 \text{ м/с}$

Ответ: Автомобиль должен ехать со скоростью $10\sqrt{10}$ м/с (приблизительно 31,6 м/с), чтобы находиться в состоянии невесомости в верхней точке траектории.