Номер 10, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы трения - номер 10, страница 103.

Условие.

10. Брусок массой $m = 200$ г равномерно перемещают по столу, прикладывая силу $\vec{T}$, направленную вверх под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту (рис. 9.9). Коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0,4$.

а) Введите оси координат, как показано на рисунке 9.10. Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём все силы, действующие на брусок.

б) Запишите выражения для проекций всех приложенных к бруску сил.

в) Чему равна равнодействующая приложенных к бруску сил?

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси $\text{x}$, $\text{y}$.

д) Какое соотношение справедливо для данной ситуации, кроме второго закона Ньютона?

е) Используя полученную систему трёх уравнений, выразите $T, N, F_{тр}$ через $m, \alpha, \mu, g$.

ж) Чему равны $T, N, F_{тр}$?

Решение 2.

а) На брусок действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности стола.

3. Приложенная сила $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.

4. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально, в сторону, противоположную направлению движения.

Ответ: На брусок действуют сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), приложенная сила ($\vec{T}$) и сила трения ($\vec{F}_{тр}$).

б) Выражения для проекций сил на оси координат x и y:

Проекции на ось Ox:

$T_x = T \cos\alpha$

$N_x = 0$

$(m\vec{g})_x = 0$

$F_{тр,x} = -F_{тр}$

Проекции на ось Oy:

$T_y = T \sin\alpha$

$N_y = N$

$(m\vec{g})_y = -mg$

$F_{тр,y} = 0$

Ответ: Проекции на ось Ox: $T_x = T \cos\alpha$, $F_{тр,x} = -F_{тр}$. Проекции на ось Oy: $T_y = T \sin\alpha$, $N_y = N$, $(m\vec{g})_y = -mg$.

в) Согласно условию, брусок перемещают равномерно. Это означает, что его скорость постоянна ($\vec{v} = \text{const}$), а ускорение равно нулю ($\vec{a} = 0$). По первому закону Ньютона, если ускорение тела равно нулю, то векторная сумма всех действующих на него сил (равнодействующая сила) также равна нулю.

$\vec{F}_{равн} = \vec{T} + \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{тр} = 0$

Ответ: Равнодействующая приложенных к бруску сил равна нулю.

г) Второй закон Ньютона в векторной форме: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. Так как движение равномерное, $\vec{a} = 0$, следовательно, $\sum \vec{F} = 0$. Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y, используя проекции сил из пункта б):

Проекция на ось Ox: $T_x + F_{тр,x} = 0 \Rightarrow T \cos\alpha - F_{тр} = 0$

Проекция на ось Oy: $T_y + N_y + (m\vec{g})_y = 0 \Rightarrow T \sin\alpha + N - mg = 0$

Ответ: Проекция на ось Ox: $T \cos\alpha - F_{тр} = 0$. Проекция на ось Oy: $T \sin\alpha + N - mg = 0$.

д) Поскольку брусок скользит по поверхности, на него действует сила трения скольжения. Эта сила связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$. Соотношение, описывающее силу трения скольжения, имеет вид:

$F_{тр} = \mu N$

Ответ: $F_{тр} = \mu N$.

е) Для нахождения искомых величин составим систему из трёх уравнений, полученных в пунктах г) и д):

$\begin{cases} T \cos\alpha - F_{тр} = 0 & (1) \\ T \sin\alpha + N - mg = 0 & (2) \\ F_{тр} = \mu N & (3) \end{cases}$

Из уравнения (1) выразим $F_{тр}$: $F_{тр} = T \cos\alpha$.

Из уравнения (2) выразим $\text{N}$: $N = mg - T \sin\alpha$.

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $\text{N}$ в уравнение (3):

$T \cos\alpha = \mu (mg - T \sin\alpha)$

Раскроем скобки и выразим $\text{T}$:

$T \cos\alpha = \mu mg - \mu T \sin\alpha$

$T \cos\alpha + \mu T \sin\alpha = \mu mg$

$T (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$

$T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

Теперь, зная $\text{T}$, найдем $\text{N}$ и $F_{тр}$:

$N = mg - T \sin\alpha = mg - \frac{\mu mg \sin\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha} = mg \left(1 - \frac{\mu \sin\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}\right) = mg \left(\frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha - \mu \sin\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}\right) = \frac{mg \cos\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

$F_{тр} = T \cos\alpha = \frac{\mu mg \cos\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

Ответ: $T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$, $N = \frac{mg \cos\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$, $F_{тр} = \frac{\mu mg \cos\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$.

ж)

Дано

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0.4$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T - ?$

$N - ?$

$F_{тр} - ?$

Решение

Воспользуемся формулами, полученными в пункте е). Нам понадобятся значения тригонометрических функций для угла $30^\circ$:

$\sin(30^\circ) = 0.5$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

Рассчитаем силу натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha} = \frac{0.4 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.866 + 0.4 \cdot 0.5} = \frac{0.784 \text{ Н}}{0.866 + 0.2} = \frac{0.784 \text{ Н}}{1.066} \approx 0.74 \text{ Н}$

Рассчитаем силу нормальной реакции опоры $\text{N}$:

$N = \frac{mg \cos\alpha}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.866}{1.066} = \frac{1.96 \text{ Н} \cdot 0.866}{1.066} = \frac{1.697 \text{ Н}}{1.066} \approx 1.59 \text{ Н}$

Рассчитаем силу трения $F_{тр}$:

$F_{тр} = \mu N = 0.4 \cdot 1.59 \text{ Н} \approx 0.64 \text{ Н}$

Проверка: $F_{тр} = T \cos\alpha \approx 0.74 \text{ Н} \cdot 0.866 \approx 0.64 \text{ Н}$.

Ответ: $T \approx 0.74 \text{ Н}$, $N \approx 1.59 \text{ Н}$, $F_{тр} \approx 0.64 \text{ Н}$.