Номер 18, страница 157, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 18, страница 157.

Условие.

18. Ракета поднимается вертикально вверх на 2 км, выбросив одновременно порцию газа массой 5 кг. Масса корпуса ракеты 25 кг. Чему равна скорость порции газа:

а) относительно земли;

б) относительно ракеты сразу после выброса?

Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

$h = 2$ км

$m_г = 5$ кг

$m_р = 25$ кг

Перевод в СИ:

$h = 2 \cdot 10^3$ м = 2000 м

Найти:

а) $v_г$ - скорость газа относительно земли

б) $v_{отн}$ - скорость газа относительно ракеты

Решение:

Исходя из условия, можно предположить, что ракета (корпус + газ) изначально покоилась, а высота $h=2$ км была достигнута корпусом ракеты в результате приобретенной после выброса газа скорости. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Сначала найдем скорость корпуса ракеты ($v_р$) сразу после выброса газа. После выброса корпус движется вверх только под действием силы тяжести. Его начальная (сразу после выброса) кинетическая энергия на максимальной высоте подъема $\text{h}$ полностью переходит в потенциальную. По закону сохранения механической энергии:

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

Выразим отсюда скорость $v_р$ (примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²):

$v_р = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2000 \text{ м}} = \sqrt{40000 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 200$ м/с.

Эта скорость направлена вертикально вверх.

2. Теперь рассмотрим сам процесс выброса газа. Поскольку он происходит "одномоментно" (мгновенно), то систему "корпус ракеты + газ" можно считать замкнутой, так как импульс внешней силы (силы тяжести) за это короткое время пренебрежимо мал. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до выброса был равен нулю, так как мы предположили, что ракета покоилась.

$\vec{P}_{до} = 0$

После выброса импульс системы равен векторной сумме импульсов корпуса ракеты и порции газа:

$\vec{P}_{после} = m_р \vec{v_р} + m_г \vec{v_г}$

Согласно закону сохранения импульса $\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$:

$0 = m_р \vec{v_р} + m_г \vec{v_г}$

Направим координатную ось OY вертикально вверх. Тогда в проекции на эту ось уравнение примет вид:

$0 = m_р v_р + m_г v_{г.y}$

где $v_р = 200$ м/с (проекция положительна), а $v_{г.y}$ — проекция скорости газа на ось OY. Найдем эту проекцию:

$v_{г.y} = -\frac{m_р v_р}{m_г} = -\frac{25 \text{ кг} \cdot 200 \text{ м/с}}{5 \text{ кг}} = -1000$ м/с.

Знак "минус" указывает, что вектор скорости газа направлен против оси OY, то есть вертикально вниз. Модуль скорости газа относительно земли равен 1000 м/с.

а) относительно земли;

Скорость порции газа относительно земли равна 1000 м/с и направлена вертикально вниз.

Ответ: 1000 м/с.

б) относительно ракеты сразу после выброса?

Скорость газа относительно ракеты ($v_{отн}$) — это относительная скорость их разлета. Так как ракета и газ движутся в противоположных направлениях (вверх и вниз соответственно), модуль их относительной скорости равен сумме модулей их скоростей относительно земли:

$v_{отн} = |v_р| + |v_г| = 200 \text{ м/с} + 1000 \text{ м/с} = 1200$ м/с.

Ответ: 1200 м/с.