Номер 20, страница 157, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 20, страница 157.

Условие.

20. Стартовавшая с Земли ракета находится в некоторый момент времени на высоте $2.4 \text{ км}$ и движется со скоростью $200 \text{ м/с}$, направленной вверх. В этот момент от ракеты «отстреливается» вниз относительно ракеты первая ступень массой $1 \text{ т}$, вследствие чего скорость второй ступени ракеты массой $3 \text{ т}$ увеличивается до $220 \text{ м/с}$. Сколько времени первая ступень ракеты будет падать на землю? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Высота в момент отделения, $h_0 = 2,4$ км

Скорость ракеты до отделения, $V = 200$ м/с

Масса первой ступени, $m_1 = 1$ т

Масса второй ступени, $m_2 = 3$ т

Скорость второй ступени после отделения, $V_2 = 220$ м/с

$h_0 = 2,4 \text{ км} = 2400 \text{ м}$
$m_1 = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
$m_2 = 3 \text{ т} = 3000 \text{ кг}$

Найти:

Время падения первой ступени на землю, $\text{t}$ - ?

Решение:

Решение задачи состоит из двух этапов. Сначала, используя закон сохранения импульса, найдем скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения. Затем, зная начальную скорость и высоту, определим время ее падения.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

1. Нахождение скорости первой ступени после отделения.

Направим ось OY вертикально вверх. Импульс системы "ракета" до разделения равен импульсу двух ступеней после разделения. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OY:

$(m_1 + m_2)V = m_1 V_1 + m_2 V_2$

где $\text{V}$ – скорость ракеты до отделения, $V_1$ – скорость первой ступени после отделения, $V_2$ – скорость второй ступени после отделения. Все скорости измеряются относительно Земли.

Выразим из этого уравнения скорость первой ступени $V_1$:

$m_1 V_1 = (m_1 + m_2)V - m_2 V_2$

$V_1 = \frac{(m_1 + m_2)V - m_2 V_2}{m_1}$

Подставим числовые значения:

$V_1 = \frac{(1000 \text{ кг} + 3000 \text{ кг}) \cdot 200 \text{ м/с} - 3000 \text{ кг} \cdot 220 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг}} = \frac{4000 \cdot 200 - 3000 \cdot 220}{1000} = \frac{800000 - 660000}{1000} = \frac{140000}{1000} = 140 \text{ м/с}$

Положительное значение скорости $V_1$ означает, что сразу после отделения первая ступень продолжает двигаться вверх.

2. Нахождение времени падения первой ступени.

Теперь первая ступень представляет собой тело, брошенное вертикально вверх с высоты $h_0 = 2400$ м с начальной скоростью $V_1 = 140$ м/с. Уравнение движения тела в поле тяжести Земли имеет вид:

$h(t) = h_0 + V_1 t - \frac{gt^2}{2}$

Падение на землю произойдет в момент времени $\text{t}$, когда высота $h(t)$ станет равной нулю:

$0 = h_0 + V_1 t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения и решим получившееся квадратное уравнение:

$0 = 2400 + 140t - \frac{10t^2}{2}$

$5t^2 - 140t - 2400 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$t^2 - 28t - 480 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 784 + 1920 = 2704$

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

$t_1 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40 \text{ c}$

$t_2 = \frac{28 - 52}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12 \text{ c}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем единственный физически осмысленный корень $t = 40$ с.

Ответ: первая ступень ракеты будет падать на землю 40 с.