Номер 7, страница 159, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 7, страница 159.

Условие.

7. Небольшой брусок массой $\text{m}$ соскольз-нул вдоль наклонной плоскости высотой $\text{h}$ (рис. 16.4). Обозначим начальную высоту бруска $h_{\text{н}}$, а конечную $h_{\text{к}}$. Докажите, что и в этом случае работа силы тяжести выра-жается формулой $A_{\text{т}} = mg(h_{\text{н}} - h_{\text{к}})$.

Рис. 16.4

Решение 2.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$
Начальная высота бруска: $h_н$
Конечная высота бруска: $h_к$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Доказать, что работа силы тяжести $A_т$ выражается формулой $A_т = mg(h_н - h_к)$.

Решение:

Существует два основных способа доказать данное утверждение.

Способ 1: Через определение работы.
Работа $\text{A}$, совершаемая постоянной силой $\text{F}$ при перемещении тела на расстояние $\text{s}$, определяется по формуле:
$A = Fs \cos\theta$
где $\theta$ — угол между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $\vec{s}$.

В нашем случае силой является сила тяжести $F_т = mg$, которая всегда направлена вертикально вниз. Перемещение $\text{s}$ происходит вдоль наклонной плоскости. Пусть угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$.
Тогда угол $\theta$ между вектором силы тяжести (вертикаль) и вектором перемещения (вдоль наклонной плоскости) будет равен $90^\circ - \alpha$.
Работа силы тяжести запишется как:
$A_т = F_т s \cos(90^\circ - \alpha) = mg s \cos(90^\circ - \alpha)$

Используя известное тригонометрическое тождество $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получим:
$A_т = mg s \sin\alpha$

Из геометрии (рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный наклонной плоскостью) видно, что вертикальное перемещение тела (катет) связано с перемещением вдоль наклонной плоскости $\text{s}$ (гипотенуза) и углом наклона $\alpha$ следующим соотношением:
$h_н - h_к = s \sin\alpha$
Подставим это выражение в формулу для работы:
$A_т = mg (s \sin\alpha) = mg(h_н - h_к)$
Что и требовалось доказать.

Способ 2: Через изменение потенциальной энергии.
Работа силы тяжести (как консервативной силы) равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:
$A_т = -\Delta E_p = -(E_{p,к} - E_{p,н}) = E_{p,н} - E_{p,к}$
где $E_{p,н}$ — начальная потенциальная энергия, а $E_{p,к}$ — конечная.

Потенциальная энергия тела на высоте $\text{h}$ над нулевым уровнем определяется формулой $E_p = mgh$.
Следовательно, начальная и конечная потенциальные энергии бруска равны:
$E_{p,н} = mgh_н$
$E_{p,к} = mgh_к$

Подставив эти выражения в формулу для работы, получим:
$A_т = mgh_н - mgh_к = mg(h_н - h_к)$
Этот способ показывает, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется только его начальным и конечным положением (высотой).

Ответ: Оба способа приводят к результату $A_т = mg(h_н - h_к)$, что и требовалось доказать. Работа силы тяжести при перемещении тела из начального положения в конечное равна произведению модуля силы тяжести на проекцию перемещения на вертикальную ось.