Номер 9, страница 159, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 9, страница 159.

Условие.

9. Докажите, что формула $A_{\text{Т}} = mg(h_{\text{Н}} - h_{\text{К}})$ справедлива для работы силы тяжести при движении тела по любой траектории — например, при движении по траектории, изображённой на рисунке 16.5.

Рис. 16.5

Решение 2.

Решение

Работу силы тяжести при движении тела по произвольной криволинейной траектории можно найти, разбив эту траекторию на большое число очень малых прямолинейных отрезков. Каждый такой малый отрезок перемещения $\Delta\vec{l}$ можно разложить на две составляющие: горизонтальную $\Delta\vec{x}$ и вертикальную $\Delta\vec{y}$.

Сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$ всегда направлена вертикально вниз. Работа, совершаемая силой тяжести на малом перемещении $\Delta\vec{l}$, равна сумме работ на горизонтальном и вертикальном участках:

$A_i = A_{ix} + A_{iy}$

1. Работа на горизонтальном участке $\Delta\vec{x}$. Вектор силы тяжести $\vec{F}_т$ перпендикулярен вектору перемещения $\Delta\vec{x}$. Угол между ними составляет $90^\circ$. Работа на этом участке равна нулю:

$A_{ix} = F_т \cdot \Delta x \cdot \cos(90^\circ) = 0$

2. Работа на вертикальном участке $\Delta\vec{y}$. Вектор силы тяжести $\vec{F}_т$ параллелен (или антипараллелен) вектору перемещения $\Delta\vec{y}$. Если направить ось $\text{Y}$ вертикально вверх, то проекция силы тяжести на эту ось будет $F_{ту} = -mg$. Тогда работа на вертикальном участке равна:

$A_{iy} = F_{ту} \cdot \Delta y_i = -mg\Delta y_i$

Здесь $\Delta y_i$ — это изменение высоты на малом участке. При движении вверх $\Delta y_i > 0$ и работа отрицательна, а при движении вниз $\Delta y_i < 0$ и работа положительна.

Полная работа $A_т$ на всей траектории равна сумме элементарных работ на всех малых участках. Так как работа на всех горизонтальных составляющих равна нулю, полная работа равна сумме работ только на вертикальных составляющих:

$A_т = \sum A_i = \sum (A_{ix} + A_{iy}) = \sum A_{iy} = \sum (-mg\Delta y_i)$

Поскольку $\text{m}$ и $\text{g}$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак суммы:

$A_т = -mg \sum \Delta y_i$

Сумма всех малых вертикальных перемещений $\sum \Delta y_i$ представляет собой полное изменение высоты тела, то есть разность между конечной высотой $h_к$ и начальной высотой $h_н$:

$\sum \Delta y_i = h_к - h_н$

Подставляя это выражение в формулу для работы, получаем:

$A_т = -mg(h_к - h_н) = mg(h_н - h_к)$

Таким образом, мы доказали, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела (точнее, разностью высот). Следовательно, эта формула справедлива для любой траектории, включая ту, что изображена на рисунке.

Ответ: Формула $A_т = mg(h_н - h_к)$ справедлива для любой траектории, так как работа силы тяжести (консервативной силы) зависит только от изменения вертикальной координаты (высоты) и не зависит от пути, по которому тело перемещалось между начальной и конечной точками.