Номер 16, страница 161, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 16, страница 161.

Условие.

16. Докажите, что и в том случае, когда сила не является постоянной (см., например, рис. 16.8), работа силы численно равна площади фигуры под графиком зависимости $F(x)$.

Рис. 16.8

Решение 2.

Решение

Работа, совершаемая силой, в общем случае определяется как произведение силы на перемещение. Если сила $\text{F}$ постоянна и действует в направлении перемещения $\text{s}$, то работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s$. На графике зависимости $F(x)$ для постоянной силы эта работа численно равна площади прямоугольника с высотой $\text{F}$ и основанием $\text{s}$.

Рассмотрим случай, когда сила не является постоянной, а изменяется в зависимости от координаты (перемещения) $\text{x}$, как показано на рисунке. Чтобы найти работу такой переменной силы, мы можем разбить весь путь от начальной точки (например, $x_1=0$) до конечной точки $x_2$ на большое количество $\text{N}$ очень малых перемещений $\Delta x$.

На каждом таком малом перемещении $\Delta x$ силу $F(x)$ можно считать практически постоянной и равной некоторому среднему значению $F_i$ на этом участке. Тогда элементарная работа $\Delta A_i$, совершаемая на этом малом участке, будет приближенно равна:

$\Delta A_i \approx F_i \cdot \Delta x$

Эта величина численно равна площади узкого прямоугольника с высотой $F_i$ и основанием $\Delta x$.

Полная работа $\text{A}$ на всем пути будет равна сумме элементарных работ на всех участках:

$A = \sum_{i=1}^{N} \Delta A_i \approx \sum_{i=1}^{N} F_i \cdot \Delta x$

Геометрически эта сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из множества узких прямоугольников, которая приблизительно равна площади под графиком функции $F(x)$.

Чтобы получить точное значение работы, необходимо устремить длину каждого малого перемещения $\Delta x$ к нулю, а их число $\text{N}$ — к бесконечности. В этом предельном случае сумма площадей прямоугольников будет в точности равна площади фигуры под кривой $F(x)$. В математическом анализе такой предел суммы называется определенным интегралом:

$A = \lim_{\Delta x \to 0} \sum F_i \cdot \Delta x = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

Геометрический смысл определенного интеграла как раз и состоит в площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции (в нашем случае $F(x)$), осью абсцисс и вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования ($x_1$ и $x_2$).

Таким образом, доказано, что работа, совершаемая переменной силой, численно равна площади фигуры под графиком зависимости этой силы от перемещения.

Ответ: Работа переменной силы находится путем разбиения всего перемещения на бесконечно малые участки, на каждом из которых сила считается постоянной. Работа на таком участке равна площади соответствующего ему узкого прямоугольника под графиком $F(x)$. Суммирование площадей всех таких прямоугольников в пределе (что эквивалентно вычислению определенного интеграла) дает точное значение работы, которое в точности равно площади всей фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.