Номер 18, страница 161, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 18, страница 161.

Условие.

°18. Используя рисунок 16.10, докажите, что при изменении деформации пружины от $x_H$ до $x_K$ работа силы упругости выражается формулой 1)

Рис. 16.9

$A = \frac{k(x_H^2 - x_K^2)}{2}$

Из этой формулы следует, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины.

Рис. 16.10

Поэтому если движущееся под действием силы упругости тело возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости при перемещении этого тела равна нулю. Следовательно, сила упругости, так же как и сила тяжести, является консервативной (потенциальной) силой.

Решение 2.

Решение

Согласно условию, необходимо доказать формулу для работы силы упругости, используя рисунок 16.10. На рисунке представлен график зависимости модуля силы упругости $\text{F}$ от величины деформации (удлинения) пружины $\text{x}$. Эта зависимость является линейной и описывается законом Гука: $F = kx$, где $\text{k}$ — коэффициент жесткости пружины.

Работа переменной силы может быть определена геометрически как площадь фигуры, ограниченной графиком зависимости силы от перемещения, осью абсцисс и перпендикулярами, восстановленными из точек, соответствующих начальному и конечному положениям тела.

В данном случае работа $\text{A}$ силы упругости при изменении деформации пружины от начального значения $x_H$ до конечного $x_K$ численно равна площади заштрихованной фигуры, которая является трапецией.

Площадь этой трапеции можно вычислить как разность площадей двух прямоугольных треугольников:

1. Площадь большого треугольника с катетами $x_H$ (основание) и $F_H = kx_H$ (высота). Эта площадь соответствует работе по растяжению пружины из недеформированного состояния ($x=0$) до деформации $x_H$. $S_H = \frac{1}{2} \cdot x_H \cdot F_H = \frac{1}{2} x_H (kx_H) = \frac{kx_H^2}{2}$

2. Площадь малого треугольника с катетами $x_K$ (основание) и $F_K = kx_K$ (высота). Эта площадь соответствует работе по растяжению пружины из недеформированного состояния до деформации $x_K$. $S_K = \frac{1}{2} \cdot x_K \cdot F_K = \frac{1}{2} x_K (kx_K) = \frac{kx_K^2}{2}$

Площадь трапеции $S_{трап}$ равна разности площадей большого и малого треугольников. Эта площадь и будет равна искомой работе $\text{A}$: $A = S_{трап} = S_H - S_K = \frac{kx_H^2}{2} - \frac{kx_K^2}{2}$

Вынеся общий множитель за скобки, получаем требуемую формулу: $A = \frac{k(x_H^2 - x_K^2)}{2}$

Эта формула соответствует работе силы упругости, которая совершается, когда пружина переходит из состояния с большей деформацией $x_H$ в состояние с меньшей деформацией $x_K$. Работа силы упругости в этом случае равна убыли потенциальной энергии пружины ($A = E_{p, нач} - E_{p, кон}$), что полностью согласуется с полученным выражением. Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказательство основано на геометрическом смысле работы: работа силы упругости при изменении деформации от $x_H$ до $x_K$ численно равна площади трапеции под графиком $F(x)$. Расчет этой площади как разности площадей двух прямоугольных треугольников ($S_H = \frac{kx_H^2}{2}$ и $S_K = \frac{kx_K^2}{2}$) приводит к искомой формуле $A = \frac{k(x_H^2 - x_K^2)}{2}$.