Номер 25, страница 163, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 25, страница 163.

Условие.

°25. Докажите, что если на тело, движущееся со скоростью $\vec{v}$, действует сила $\vec{F}$, направление которой совпадает с направлением скорости, то развиваемая мощность выражается формулой

$P = Fv.$

Решение 2.

Дано:

Тело движется со скоростью $\vec{v}$.
На тело действует сила $\vec{F}$.
Вектор силы $\vec{F}$ сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$.

Найти:

Доказать, что развиваемая мощность выражается формулой $P = Fv$.

Решение:

По определению, мгновенная мощность $\text{P}$ — это скорость совершения работы $\text{A}$, то есть отношение элементарной работы $dA$ к бесконечно малому промежутку времени $dt$, за который эта работа была совершена:

$P = \frac{dA}{dt}$

Элементарная работа $dA$, совершаемая силой $\vec{F}$ при перемещении тела на малый вектор $d\vec{s}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

$dA = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

Подставим выражение для элементарной работы в формулу для мощности:

$P = \frac{\vec{F} \cdot d\vec{s}}{dt}$

Мгновенная скорость $\vec{v}$ тела по определению есть отношение вектора малого перемещения $d\vec{s}$ к промежутку времени $dt$: $\vec{v} = \frac{d\vec{s}}{dt}$.

Следовательно, формулу для мощности можно записать в общем виде как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости:

$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

По определению скалярного произведения, $P = |\vec{F}| |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\text{F}$ и $\text{v}$ — модули векторов силы и скорости соответственно, а $\alpha$ — угол между ними.

$P = Fv\cos\alpha$

По условию задачи, направление силы $\vec{F}$ совпадает с направлением скорости $\vec{v}$. Это означает, что угол $\alpha$ между этими векторами равен нулю ($\alpha = 0$).

Косинус нулевого угла равен единице: $\cos(0) = 1$.

Подставляя это значение в общую формулу для мощности, получаем искомое выражение:

$P = Fv \cdot 1 = Fv$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Формула $P = Fv$ доказана исходя из определений мощности и работы. Если векторы силы и скорости сонаправлены, угол между ними равен нулю, и скалярное произведение $\vec{F} \cdot \vec{v}$ становится равным произведению модулей векторов $Fv$.