Номер 29, страница 163, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 29, страница 163.

Условие.

29. Брусок массой $m = 400 \text{ г}$ толкнули вверх вдоль наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ с начальной скоростью $v_0 = 3 \text{ м/с}$.

Коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu = 0,6$.

a) Какой путь $\text{l}$ пройдёт брусок до остановки?

б) Начнёт ли брусок соскальзывать с наклонной плоскости после остановки?

в) Какую работу совершит сила тяжести при движении бруска?

г) Чему равна работа силы трения скольжения?

д) Чему равна работа равнодействующей приложенных к бруску сил?

Если при перемещении тела приложенная к нему сила изменяется, то для нахождения работы этой силы следует воспользоваться тем, что она численно равна площади фигуры, заключённой под графиком зависимости силы от перемещения.

Решение 2.

Дано

$m = 400 \text{ г}$
$\alpha = 30^\circ$
$v_0 = 3 \text{ м/с}$
$\mu = 0,6$
$v = 0 \text{ м/с}$ (так как брусок останавливается)

Перевод в систему СИ:
$m = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$

Найти:

а) $l - ?$
б) Начнёт ли брусок соскальзывать? - ?
в) $A_{тяж} - ?$
г) $A_{тр} - ?$
д) $A_{равн} - ?$

Решение

Для решения задачи используем второй закон Ньютона и теорему об изменении кинетической энергии. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY перпендикулярно ей. При движении вверх на брусок действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Второй закон Ньютона в проекциях на оси:

OY: $N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$

OX: $-mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Тогда ускорение бруска при движении вверх:

$ma = -mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$

$a = -g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Знак "минус" указывает, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть тело замедляется.

а) Какой путь l пройдёт брусок до остановки?

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: работа равнодействующей всех сил равна изменению кинетической энергии тела. $A_{равн} = \Delta E_k$.

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$.

Работа равнодействующей силы равна сумме работ силы тяжести и силы трения: $A_{равн} = A_{тяж} + A_{тр}$.

Работа силы тяжести: $A_{тяж} = -mg \sin\alpha \cdot l$.

Работа силы трения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot l = -\mu N l = -\mu mg \cos\alpha \cdot l$.

Тогда $A_{равн} = -(mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha)l = -mgl(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

Приравниваем: $-\frac{mv_0^2}{2} = -mgl(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

Отсюда находим путь $\text{l}$:

$l = \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$

Подставляем значения:

$l = \frac{3^2}{2 \cdot 9,8 \cdot (\sin 30^\circ + 0,6 \cdot \cos 30^\circ)} = \frac{9}{19,6 \cdot (0,5 + 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})} \approx \frac{9}{19,6 \cdot (0,5 + 0,52)} = \frac{9}{19,6 \cdot 1,02} \approx \frac{9}{19,992} \approx 0,45 \text{ м}$.

Ответ: $l \approx 0,45 \text{ м}$.

б) Начнёт ли брусок соскальзывать с наклонной плоскости после остановки?

Чтобы брусок начал соскальзывать, сила, тянущая его вниз вдоль наклонной плоскости (проекция силы тяжести), должна быть больше максимальной силы трения покоя. Силой трения покоя в данном случае выступает сила трения скольжения, так как коэффициент трения покоя обычно больше или равен коэффициенту трения скольжения, а в задаче дан только один коэффициент.

Условие начала скольжения: $F_{тяж \parallel} > F_{тр.пок.max}$

$mg \sin\alpha > \mu mg \cos\alpha$

Сократив $mg$, получим: $\tan\alpha > \mu$.

Подставим значения:

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$

$\mu = 0,6$

Сравниваем: $0,577 < 0,6$.

Поскольку условие $\tan\alpha > \mu$ не выполняется, сила тяжести, тянущая брусок вниз, меньше максимальной силы трения покоя. Следовательно, брусок не начнёт соскальзывать.

Ответ: Нет, не начнёт.

в) Какую работу совершит сила тяжести при движении бруска?

Работа силы тяжести вычисляется по формуле $A_{тяж} = -mgh$, где $\text{h}$ — изменение высоты. $h = l \sin\alpha$.

$A_{тяж} = -mgl \sin\alpha = -0,4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,45 \text{ м} \cdot \sin 30^\circ = -0,4 \cdot 9,8 \cdot 0,45 \cdot 0,5 = -0,882 \text{ Дж}$.

Работа отрицательна, так как сила тяжести направлена против перемещения по вертикали.

Ответ: $A_{тяж} \approx -0,88 \text{ Дж}$.

г) Чему равна работа силы трения скольжения?

Работа силы трения всегда отрицательна, так как она направлена против движения. $A_{тр} = -F_{тр} \cdot l = -\mu mg \cos\alpha \cdot l$.

$A_{тр} = -0,6 \cdot 0,4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos 30^\circ \cdot 0,45 \text{ м} \approx -0,6 \cdot 0,4 \cdot 9,8 \cdot 0,866 \cdot 0,45 \approx -0,918 \text{ Дж}$.

Ответ: $A_{тр} \approx -0,92 \text{ Дж}$.

д) Чему равна работа равнодействующей приложенных к бруску сил?

Работу равнодействующей силы проще всего найти по теореме об изменении кинетической энергии: $A_{равн} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$.

Поскольку конечная скорость равна нулю, $E_{k2} = 0$.

$A_{равн} = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{0,4 \text{ кг} \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2} = -\frac{0,4 \cdot 9}{2} = -1,8 \text{ Дж}$.

Также можно проверить, сложив работы из пунктов в) и г): $A_{равн} = A_{тяж} + A_{тр} \approx -0,88 \text{ Дж} + (-0,92 \text{ Дж}) = -1,8 \text{ Дж}$. Результаты совпадают.

Ответ: $A_{равн} = -1,8 \text{ Дж}$.