Номер 33, страница 164, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 33, страница 164.

Условие.

33. К лежащему на полу грузу массой $200\text{ г}$ прикреплена вертикальная пружина жёсткостью $50\text{ Н/м}$. В начальный момент к верхнему концу пружины прикладывают такую постоянную силу, что груз давит на пол с силой $1\text{ Н}$. Затем силу медленно увеличивают. На какой высоте от пола будет нижняя точка груза в момент, когда эта сила совершит работу, равную $150\text{ мДж}$?

Решение 2.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$k = 50 \text{ Н/м}$

$N_1 = 1 \text{ Н}$

$A = 150 \text{ мДж} = 0.15 \text{ Дж}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{h}$

Решение:

Задача описывает медленный подъём груза. Это означает, что в любой момент времени система находится в равновесии, и изменением кинетической энергии можно пренебречь. Работа внешней силы идет на изменение потенциальной энергии системы (груза и пружины).

1. Начальное состояние.

В начальный момент груз находится на полу. На него действуют три силы по вертикали: сила тяжести $mg$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $N_1$ (вверх) и сила упругости пружины $F_{упр1}$ (вверх). Так как груз в равновесии, сумма сил равна нулю:

$N_1 + F_{упр1} - mg = 0$

Найдем силу тяжести:

$mg = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$

Теперь можем найти начальную силу упругости:

$F_{упр1} = mg - N_1 = 2 \text{ Н} - 1 \text{ Н} = 1 \text{ Н}$

По закону Гука, начальное удлинение пружины $\Delta l_1$ равно:

$F_{упр1} = k \Delta l_1 \implies \Delta l_1 = \frac{F_{упр1}}{k} = \frac{1 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0.02 \text{ м}$

2. Конечное состояние.

В конечном состоянии груз поднят на высоту $\text{h}$ от пола. Сила нормальной реакции опоры равна нулю. На груз действуют только сила тяжести $mg$ и сила упругости пружины $F_{упр2}$. Так как подъем медленный, груз снова находится в равновесии:

$F_{упр2} - mg = 0 \implies F_{упр2} = mg = 2 \text{ Н}$

Найдем конечное удлинение пружины $\Delta l_2$:

$\Delta l_2 = \frac{F_{упр2}}{k} = \frac{2 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0.04 \text{ м}$

3. Работа и энергия.

Работа внешней силы $\text{A}$ идет на изменение полной потенциальной энергии системы, которая состоит из изменения гравитационной потенциальной энергии груза $\Delta E_p$ и изменения потенциальной энергии упругой деформации пружины $\Delta E_{упр}$.

$A = \Delta E_p + \Delta E_{упр}$

Изменение гравитационной потенциальной энергии равно:

$\Delta E_p = mgh$

Изменение потенциальной энергии пружины равно:

$\Delta E_{упр} = \frac{k (\Delta l_2)^2}{2} - \frac{k (\Delta l_1)^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\Delta E_{упр} = \frac{50 \text{ Н/м}}{2} \cdot ((0.04 \text{ м})^2 - (0.02 \text{ м})^2) = 25 \cdot (0.0016 - 0.0004) = 25 \cdot 0.0012 = 0.03 \text{ Дж}$

Теперь подставим все найденные значения в уравнение для работы:

$0.15 \text{ Дж} = mgh + 0.03 \text{ Дж}$

Отсюда найдем изменение гравитационной потенциальной энергии:

$mgh = 0.15 \text{ Дж} - 0.03 \text{ Дж} = 0.12 \text{ Дж}$

И, наконец, найдем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{0.12 \text{ Дж}}{mg} = \frac{0.12 \text{ Дж}}{2 \text{ Н}} = 0.06 \text{ м}$

Ответ: 0.06 м (или 6 см).