Номер 32, страница 164, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 32, страница 164.

Условие.

32. На полу лежит куб массой 400 г (рис. 16.12). Сверху к кубу прикреплена пружина жёсткостью 50 Н/м. В начальный момент пружина не деформирована. К верхнему концу пружины прикладывают направленную вверх силу, которая медленно увеличивается по модулю. Какую работу совершит эта сила к моменту, когда:

a) куб оторвётся от пола;

б) нижняя грань куба окажется на высоте 20 см от пола?

Рис. 16.12

Решение 2.

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$k = 50 \text{ Н/м}$

$h = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$A_a$ - работу в случае а)

$A_б$ - работу в случае б)

Решение:

Поскольку сила прикладывается медленно, можно считать, что кинетическая энергия системы не изменяется. В этом случае работа внешней силы $\text{A}$ идет на изменение полной потенциальной энергии системы, которая состоит из потенциальной энергии куба в поле тяжести $E_{p.g}$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_{p.el}$.

$A = \Delta E_p = \Delta E_{p.g} + \Delta E_{p.el}$

В начальном состоянии пружина не деформирована, и куб лежит на полу. Примем этот уровень за нулевой для потенциальной энергии. Таким образом, начальная потенциальная энергия системы равна нулю.

а) куб оторвётся от пола

Куб оторвется от пола в тот момент, когда сила упругости пружины $F_{упр}$ станет равной силе тяжести $mg$, действующей на куб.

$F_{упр} = mg$

Согласно закону Гука, $F_{упр} = kx_1$, где $x_1$ — удлинение пружины. Отсюда находим удлинение пружины в момент отрыва:

$kx_1 = mg \implies x_1 = \frac{mg}{k}$

В этот момент куб еще не поднялся, то есть его высота над полом равна нулю. Следовательно, изменение его потенциальной энергии равно нулю: $\Delta E_{p.g} = 0$.

Работа внешней силы пошла только на увеличение потенциальной энергии пружины:

$A_a = \Delta E_{p.el} = \frac{kx_1^2}{2}$

Подставим выражение для $x_1$:

$A_a = \frac{k}{2} \left( \frac{mg}{k} \right)^2 = \frac{k(mg)^2}{2k^2} = \frac{(mg)^2}{2k}$

Выполним вычисления:

$A_a = \frac{(0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2)^2}{2 \cdot 50 \text{ Н/м}} = \frac{(3.92 \text{ Н})^2}{100 \text{ Н/м}} = \frac{15.3664 \text{ Н}^2}{100 \text{ Н/м}} \approx 0.154 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершенная силой к моменту отрыва куба от пола, составляет примерно 0.154 Дж.

б) нижняя грань куба окажется на высоте 20 см от пола

В этом случае куб поднят на высоту $h = 0.2$ м. Изменение его гравитационной потенциальной энергии составляет:

$\Delta E_{p.g} = mgh$

Поскольку подъем происходит медленно, в любой момент времени сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести (после отрыва от пола). Следовательно, когда куб находится на высоте $\text{h}$, удлинение пружины $x_2$ по-прежнему определяется условием $kx_2 = mg$. То есть, удлинение пружины не изменилось по сравнению с моментом отрыва: $x_2 = x_1 = \frac{mg}{k}$.

Изменение потенциальной энергии пружины будет таким же, как и в пункте а):

$\Delta E_{p.el} = \frac{kx_2^2}{2} = \frac{(mg)^2}{2k}$

Полная работа внешней силы будет равна сумме изменений двух видов потенциальной энергии:

$A_б = \Delta E_{p.g} + \Delta E_{p.el} = mgh + \frac{(mg)^2}{2k}$

Выполним вычисления:

$A_б = (0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м}) + 0.154 \text{ Дж}$

$A_б = 0.784 \text{ Дж} + 0.154 \text{ Дж} = 0.938 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершенная силой к моменту, когда нижняя грань куба окажется на высоте 20 см, составляет примерно 0.938 Дж.