Номер 30, страница 164, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 30, страница 164.

Условие.

30. Цепь длиной $l = 10 \text{ м}$ и массой $m = 10 \text{ кг}$ равномерно поднимают на крышу здания высотой 10 м. В начальный момент нижний конец цепи касается земли.

a) Какую силу надо прикладывать для подъёма цепи вначале?

б) Изобразите график зависимости силы, которую надо прикладывать для подъёма цепи, от перемещения нижнего конца цепи.

в) Чему равна работа по подъёму всей цепи?

Решение 2.

Дано:

$l = 10 \text{ м}$ (длина цепи)

$m = 10 \text{ кг}$ (масса цепи)

$H = 10 \text{ м}$ (высота здания)

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

а) $F_{нач}$ - силу для подъёма вначале

б) График зависимости $F(y)$

в) $\text{A}$ - работу по подъёму всей цепи

Решение:

Поскольку цепь поднимают равномерно, её ускорение равно нулю. Следовательно, прикладываемая сила $\text{F}$ в каждый момент времени равна по модулю силе тяжести той части цепи, которая ещё не поднята на крышу (т.е. висит).

Из условия, что в начальный момент нижний конец цепи длиной $l = 10$ м касается земли, а поднимают её на крышу высотой $H = 10$ м, следует, что изначально вся цепь висит вертикально, её верхний конец находится на уровне крыши.

Введём линейную плотность цепи: $\rho = \frac{m}{l} = \frac{10 \text{ кг}}{10 \text{ м}} = 1 \text{ кг/м}$.

Пусть $\text{y}$ — это перемещение нижнего конца цепи вверх от поверхности земли. В процессе подъёма $\text{y}$ изменяется от 0 до $\text{l}$. Когда нижний конец поднят на высоту $\text{y}$, длина висящей части цепи составляет $(l-y)$. Масса этой части равна $m_{вис} = \rho (l-y) = \frac{m}{l}(l-y)$.

Сила, необходимая для удержания или равномерного подъёма этой части, равна её весу:

$F(y) = m_{вис} \cdot g = \frac{m}{l}g(l-y)$

а) Какую силу надо прикладывать для подъёма цепи вначале?

В начальный момент времени вся цепь висит, то есть перемещение её нижнего конца $y=0$. Подставим это значение в нашу формулу для силы:

$F_{нач} = F(0) = \frac{m}{l}g(l-0) = mg$

Вычислим значение силы:

$F_{нач} = 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 98 \text{ Н}$

Ответ: 98 Н.

б) Изобразите график зависимости силы, которую надо прикладывать для подъёма цепи, от перемещения нижнего конца цепи.

Зависимость силы $\text{F}$ от перемещения нижнего конца цепи $\text{y}$ является линейной: $F(y) = \frac{m}{l}g(l-y)$.

Подставим числовые значения: $F(y) = \frac{10}{10} \cdot 9.8 \cdot (10-y) = 98 - 9.8y$.

Это уравнение прямой. В начальный момент, когда $y=0$, сила максимальна: $F(0) = 98 \text{ Н}$. В конечный момент, когда вся цепь поднята на крышу и $y=10 \text{ м}$, сила равна нулю: $F(10) = 0 \text{ Н}$.

Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 98) и (10; 0) в системе координат, где по оси ординат отложена сила $\text{F}$ (в Ньютонах), а по оси абсцисс — перемещение $\text{y}$ (в метрах).

Ответ: График зависимости силы от перемещения нижнего конца цепи представляет собой отрезок прямой, убывающей от 98 Н (при y=0 м) до 0 Н (при y=10 м).

в) Чему равна работа по подъёму всей цепи?

Работу по подъёму цепи можно найти двумя способами.

Способ 1: Через изменение потенциальной энергии.

Работа внешней силы при равномерном подъёме равна изменению потенциальной энергии цепи. Примем уровень земли за нулевой уровень потенциальной энергии ($y=0$). В начальном состоянии центр масс висящей цепи находится на высоте $y_{ц.м., нач} = l/2$. В конечном состоянии, когда вся цепь лежит на крыше, её центр масс находится на высоте $y_{ц.м., кон} = l$.

Начальная потенциальная энергия: $E_{p, нач} = mgy_{ц.м., нач} = mg\frac{l}{2}$.

Конечная потенциальная энергия: $E_{p, кон} = mgy_{ц.м., кон} = mgl$.

Работа равна разности конечной и начальной энергий:

$A = \Delta E_p = E_{p, кон} - E_{p, нач} = mgl - mg\frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$

Способ 2: Как площадь под графиком силы от перемещения.

Работа равна площади фигуры под графиком зависимости $F(y)$, построенным в пункте б). Эта фигура — прямоугольный треугольник, катеты которого равны начальной силе $F_{нач} = mg$ и полной длине подъёма $\text{l}$.

$A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot F_{нач} = \frac{1}{2} l(mg) = \frac{mgl}{2}$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{10 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ м}}{2} = \frac{980}{2} = 490 \text{ Дж}$

Ответ: 490 Дж.