Номер 10, страница 159, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 10, страница 159.

Условие.

10. Докажите, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной точками траектории.

Решение 2.

Решение

Работа, совершаемая силой, по определению равна интегралу от скалярного произведения вектора силы $\vec{F}$ на вектор элементарного перемещения $d\vec{r}$ вдоль траектории движения от начальной точки 1 до конечной точки 2:

$A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Рассмотрим работу силы тяжести $\vec{F_g}$. Эта сила всегда направлена вертикально вниз. Введем декартову систему координат, в которой ось $OY$ направлена вертикально вверх, а оси $OX$ и $OZ$ лежат в горизонтальной плоскости. В этой системе координат вектор силы тяжести имеет вид:

$\vec{F_g} = (0, -mg, 0)$

где $\text{m}$ — масса тела, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Вектор элементарного перемещения $d\vec{r}$ в этой же системе координат можно записать как:

$d\vec{r} = (dx, dy, dz)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{F_g}$ и $d\vec{r}$:

$\vec{F_g} \cdot d\vec{r} = (0)(dx) + (-mg)(dy) + (0)(dz) = -mg \, dy$

Теперь вычислим работу, проинтегрировав это выражение от начальной точки 1 с координатой $y_1$ до конечной точки 2 с координатой $y_2$:

$A = \int_{1}^{2} (-mg \, dy) = -mg \int_{y_1}^{y_2} dy$

Вычисляем определенный интеграл:

$A = -mg [y]_{y_1}^{y_2} = -mg(y_2 - y_1) = mg(y_1 - y_2)$

Обозначим начальную высоту тела как $h_1 = y_1$ и конечную высоту как $h_2 = y_2$. Тогда формула для работы примет вид:

$A = mg(h_1 - h_2)$

Из полученной формулы видно, что работа силы тяжести зависит только от массы тела $\text{m}$, ускорения свободного падения $\text{g}$, а также от начальной ($h_1$) и конечной ($h_2$) высот положения тела. Она не зависит от изменений координат $\text{x}$ и $\text{z}$, то есть от пути, по которому тело перемещалось из начальной точки в конечную. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела, называются консервативными (или потенциальными). Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: $A = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1})$. Для силы тяжести потенциальная энергия $E_p = mgh$, поэтому $A = -(mgh_2 - mgh_1) = mg(h_1 - h_2)$, что и было доказано.

Ответ:

Мы доказали, что работа силы тяжести вычисляется по формуле $A = mg(h_1 - h_2)$, где $h_1$ и $h_2$ — начальная и конечная высоты. Так как работа определяется только разностью высот начальной и конечной точек, она не зависит от формы траектории движения тела.