Номер 46, страница 167, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 46, страница 167.

Условие.

46. Какую работу совершит сила тяжести, действующая на тело массой 5 кг, брошенное с начальной скоростью 20 м/с под углом $30^\circ$ к горизонту, за время, в течение которого модуль импульса тела уменьшится до своего минимального значения?

Решение 2.

Дано:

масса тела $m = 5$ кг
начальная скорость $v_0 = 20$ м/с
угол к горизонту $\alpha = 30°$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу силы тяжести $A_g$.

Решение:

Работа, совершаемая силой тяжести, зависит от вертикального перемещения тела. В задаче требуется найти работу за время, в течение которого модуль импульса тела уменьшается до своего минимального значения.

Импульс тела – это векторная величина, определяемая как произведение массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$. Модуль импульса равен $p = mv$. Поскольку масса тела $\text{m}$ является постоянной величиной, модуль импульса достигает своего минимального значения одновременно с модулем скорости $\text{v}$.

При движении тела, брошенного под углом к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха), его скорость можно разложить на две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$. Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной: $v_x = v_0 \cos(\alpha)$. Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести: $v_y = v_0 \sin(\alpha) - gt$.

Модуль полной скорости в любой момент времени определяется по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Так как $v_x$ постоянна, модуль скорости $\text{v}$ будет минимальным, когда квадрат вертикальной составляющей $v_y^2$ будет минимален. Минимальное значение $v_y^2$ равно нулю, что соответствует $v_y=0$. Это условие выполняется в наивысшей точке траектории полета.

Таким образом, нам нужно найти работу силы тяжести за время подъема тела на максимальную высоту $h_{max}$.

Работа силы тяжести $A_g$ при подъеме тела на высоту $h_{max}$ отрицательна, так как вектор силы тяжести направлен вниз, а вектор перемещения – вверх. Она вычисляется по формуле:

$A_g = -mgh_{max}$

Максимальную высоту подъема $h_{max}$ можно найти, приравняв начальную кинетическую энергию, соответствующую вертикальной составляющей скорости, потенциальной энергии на максимальной высоте:

$\frac{m(v_{0y})^2}{2} = mgh_{max}$

$\frac{m(v_0 \sin(\alpha))^2}{2} = mgh_{max}$

Отсюда выражаем высоту:

$h_{max} = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g}$

Теперь подставим это выражение в формулу для работы силы тяжести:

$A_g = -mg \left( \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g} \right) = -\frac{m(v_0 \sin(\alpha))^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$m = 5$ кг, $v_0 = 20$ м/с, $\alpha = 30°$, $\sin(30°) = 0.5$.

$A_g = -\frac{5 \cdot (20 \cdot 0.5)^2}{2} = -\frac{5 \cdot (10)^2}{2} = -\frac{5 \cdot 100}{2} = -\frac{500}{2} = -250$ Дж.

Ответ: -250 Дж.