Номер 47, страница 167, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 47, страница 167.

Условие.

47. К центру металлической пластины массой $2 \text{ кг}$, лежащей на столе, прикреплена вертикальная пружина жёсткостью $200 \text{ Н/м}$. В начальный момент пружина не деформирована. К верхнему концу пружины прикладывают медленно увеличивающуюся силу, направленную вверх. Какую работу совершит эта сила до момента, когда пластина окажется на высоте $20 \text{ см}$ над столом?

Решение 2.

Дано:

Масса пластины, $m = 2$ кг
Жёсткость пружины, $k = 200$ Н/м
Высота подъёма пластины, $h = 20$ см

$h = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Работу внешней силы, $\text{A}$

Решение:

Работа внешней силы, приложенной к верхнему концу пружины, идёт на изменение полной механической энергии системы "пластина-пружина". Поскольку сила увеличивается медленно, изменением кинетической энергии системы можно пренебречь.

Согласно закону сохранения энергии, работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы:

$A = \Delta E_p$

Изменение потенциальной энергии системы складывается из изменения гравитационной потенциальной энергии пластины ($\Delta U_g$) и изменения потенциальной энергии упругой деформации пружины ($\Delta U_{el}$).

$A = \Delta U_g + \Delta U_{el}$

1. Найдём изменение гравитационной потенциальной энергии пластины. Пластина поднимается на высоту $\text{h}$, поэтому её потенциальная энергия увеличивается на:

$\Delta U_g = mgh$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$\Delta U_g = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,2 \text{ м} = 4 \text{ Дж}$

2. Найдём изменение потенциальной энергии пружины. В начальном состоянии пружина не деформирована, её потенциальная энергия $U_{el,1} = 0$.

В конечном состоянии, когда пластина поднята на высоту $\text{h}$ и движется медленно (находится в равновесии), сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести пластины $mg$:

$F_{упр} = mg$

Согласно закону Гука, $F_{упр} = k \Delta x$, где $\Delta x$ — растяжение пружины в конечном состоянии.

$k \Delta x = mg \implies \Delta x = \frac{mg}{k}$

Потенциальная энергия, запасённая в пружине в конечном состоянии, равна:

$U_{el,2} = \frac{k (\Delta x)^2}{2} = \frac{k}{2} \left( \frac{mg}{k} \right)^2 = \frac{(mg)^2}{2k}$

Таким образом, изменение потенциальной энергии пружины составляет:

$\Delta U_{el} = U_{el,2} - U_{el,1} = \frac{(mg)^2}{2k} = \frac{(2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)^2}{2 \cdot 200 \text{ Н/м}} = \frac{(20 \text{ Н})^2}{400 \text{ Н/м}} = \frac{400 \text{ Н}^2}{400 \text{ Н/м}} = 1 \text{ Дж}$

3. Суммарная работа, совершённая внешней силой, равна сумме изменений потенциальных энергий:

$A = \Delta U_g + \Delta U_{el} = 4 \text{ Дж} + 1 \text{ Дж} = 5 \text{ Дж}$

Ответ: 5 Дж.