Номер 48, страница 167, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Механическая работа. Мощность - номер 48, страница 167.

Условие.

48. Находящейся на наклонной плоскости шайбе массой $\text{m}$ сообщили начальную скорость, равную по модулю $v_0$, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Через некоторое время шайба вернулась в начальную точку. Какую работу совершила сила трения скольжения за всё время движения шайбы, если угол наклона плоскости равен $\alpha$, а коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью равен $\mu$?

Решение 2.

Дано:

Масса шайбы: $\text{m}$
Начальная скорость: $v_0$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Коэффициент трения: $\mu$

Все величины представлены в общем виде, будем считать, что они находятся в системе СИ.

Найти:

Работу силы трения за всё время движения: $A_{тр}$

Решение:

Движение шайбы состоит из двух этапов: подъем вверх по наклонной плоскости на некоторое расстояние $\text{S}$ до остановки и спуск вниз на то же расстояние $\text{S}$ до возвращения в начальную точку.

Работа силы трения $A_{тр}$ за все время движения равна сумме работ на пути вверх ($A_{тр, вверх}$) и на пути вниз ($A_{тр, вниз}$). Сила трения скольжения всегда направлена против движения, поэтому ее работа отрицательна.

$A_{тр} = A_{тр, вверх} + A_{тр, вниз} = -F_{тр} \cdot S - F_{тр} \cdot S = -2F_{тр}S$

Найдем модуль силы трения $F_{тр}$. На шайбу, находящуюся на наклонной плоскости, действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$. Вдоль оси, перпендикулярной наклонной плоскости, движение отсутствует, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю:

$N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$

Модуль силы трения скольжения определяется как:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$

Теперь найдем расстояние $\text{S}$, на которое шайба поднимется по наклонной плоскости. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения (теоремой об изменении полной механической энергии) для этапа подъема.

$\Delta E = A_{неконс}$

Изменение полной механической энергии $(E_{кон} - E_{нач})$ равно работе неконсервативных сил (в данном случае, работе силы трения на пути вверх).

Начальная энергия в нижней точке (примем этот уровень за нулевой для потенциальной энергии):

$E_{нач} = E_{к, нач} + E_{п, нач} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0$

Конечная энергия в верхней точке подъема (скорость равна нулю):

$E_{кон} = E_{к, кон} + E_{п, кон} = 0 + mgh = mgS\sin\alpha$

Работа силы трения при подъеме:

$A_{неконс} = A_{тр, вверх} = -F_{тр}S = -\mu mgS\cos\alpha$

Подставим эти выражения в теорему:

$mgS\sin\alpha - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\mu mgS\cos\alpha$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\text{S}$:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgS\sin\alpha + \mu mgS\cos\alpha = mgS(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Отсюда находим расстояние $\text{S}$:

$S = \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

Теперь можем вычислить полную работу силы трения за все время движения, подставив найденные выражения для $F_{тр}$ и $\text{S}$ в исходную формулу $A_{тр} = -2F_{тр}S$:

$A_{тр} = -2(\mu mg\cos\alpha) \cdot \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

Сократив $2g$, получаем окончательное выражение:

$A_{тр} = - \frac{\mu m v_0^2 \cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$

Ответ: Работа, совершенная силой трения скольжения за всё время движения шайбы, равна $A_{тр} = - \frac{\mu m v_0^2 \cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$.