Номер 13, страница 201, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 13, страница 201.

Условие.

13. Снаряд вылетел из пушки вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ и разорвался на два одинаковых осколка в верхней точке траектории. Оба осколка упали вблизи пушки. Первый осколок упал на землю со скоростью $2v_0$, причём раньше, чем второй осколок. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

a) С какой скоростью второй осколок упал на землю?

б) Чему был равен модуль скорости каждого осколка сразу после разрыва?

в) До какой максимальной высоты поднялся второй осколок?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость снаряда: $v_0$

Снаряд разрывается на два одинаковых осколка: $m_1 = m_2 = m$

Скорость первого осколка при падении на землю: $v_{к1} = 2v_0$

Найти:

а) Скорость второго осколка при падении на землю $v_{к2}$ - ?

б) Модуль скорости каждого осколка сразу после разрыва $\text{u}$ - ?

в) Максимальная высота подъема второго осколка $H_{max}$ - ?

Решение:

1. Сначала определим высоту, на которой произошел разрыв снаряда. Снаряд был выпущен вертикально вверх, поэтому в верхней точке траектории его скорость равна нулю. Воспользуемся формулой для высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх:

$H = \frac{v_0^2}{2g}$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

2. В верхней точке траектории, где скорость снаряда равна нулю, его импульс также равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс двух осколков сразу после разрыва тоже должен быть равен нулю.

$m \vec{v_1} + m \vec{v_2} = 0$

Отсюда следует, что $\vec{v_1} = -\vec{v_2}$. Это означает, что скорости осколков сразу после разрыва равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этих скоростей через $\text{u}$. Поскольку первый осколок упал раньше, его скорость была направлена вниз, а скорость второго – вверх.

Теперь решим поставленные в задаче вопросы.

б) Чему был равен модуль скорости каждого осколка сразу после разрыва?

Рассмотрим движение первого осколка. Он начинает падать с высоты $\text{H}$ с начальной скоростью $\text{u}$, направленной вниз. Его конечная скорость у земли равна $2v_0$. Применим закон сохранения механической энергии для первого осколка. Энергия в момент разрыва (на высоте $\text{H}$) равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Энергия у земли — только кинетическая.

$\frac{mu^2}{2} + mgH = \frac{m(2v_0)^2}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ и умножим на 2:

$u^2 + 2gH = (2v_0)^2$

Подставим найденное ранее значение высоты $H = \frac{v_0^2}{2g}$:

$u^2 + 2g(\frac{v_0^2}{2g}) = 4v_0^2$

$u^2 + v_0^2 = 4v_0^2$

$u^2 = 3v_0^2$

$u = \sqrt{3}v_0$

Ответ: Модуль скорости каждого осколка сразу после разрыва равен $\sqrt{3}v_0$.

а) С какой скоростью второй осколок упал на землю?

Рассмотрим движение второго осколка. Он начинает движение с той же высоты $\text{H}$ с начальной скоростью $\text{u}$, но направленной вверх. Для нахождения его скорости у земли также применим закон сохранения энергии. Его начальная энергия на высоте $\text{H}$ такая же, как и у первого осколка:

$E_{нач} = \frac{mu^2}{2} + mgH$

Его конечная энергия у земли (скорость $v_{к2}$):

$E_{кон} = \frac{mv_{к2}^2}{2}$

Приравнивая начальную и конечную энергии:

$\frac{mu^2}{2} + mgH = \frac{mv_{к2}^2}{2}$

$v_{к2}^2 = u^2 + 2gH$

Мы получили то же самое уравнение, что и для первого осколка. Подставим известные значения $u^2 = 3v_0^2$ и $H = \frac{v_0^2}{2g}$:

$v_{к2}^2 = 3v_0^2 + 2g(\frac{v_0^2}{2g}) = 3v_0^2 + v_0^2 = 4v_0^2$

$v_{к2} = \sqrt{4v_0^2} = 2v_0$

Ответ: Скорость второго осколка при падении на землю равна $2v_0$.

в) До какой максимальной высоты поднялся второй осколок?

Второй осколок после разрыва на высоте $\text{H}$ имеет начальную скорость $u = \sqrt{3}v_0$, направленную вверх. Он поднимется на некоторую дополнительную высоту $h'$ до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю.

$h' = \frac{u^2}{2g}$

Подставим значение $u^2 = 3v_0^2$:

$h' = \frac{3v_0^2}{2g}$

Максимальная высота подъема второго осколка относительно земли $H_{max}$ будет суммой высоты разрыва $\text{H}$ и дополнительной высоты $h'$:

$H_{max} = H + h' = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{3v_0^2}{2g} = \frac{4v_0^2}{2g} = \frac{2v_0^2}{g}$

Ответ: Максимальная высота, на которую поднялся второй осколок, равна $\frac{2v_0^2}{g}$.