Номер 11, страница 200, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 11, страница 200.

Условие.

11. На шар массой 100 г, висящий на легком стержне, налетает пластилиновый шар массой 50 г (рис. 20.4, а). После абсолютно неупругого удара шары поднимаются на высоту $h = 40 \text{ см}$ (рис. 20.4, б). Чему был равен модуль скорости пластилинового шара перед ударом, если она в этот момент была направлена под углом $30^{\circ}$ к горизонту?

Рис. 20.4

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 50 \text{ г}$
$m_2 = 100 \text{ г}$
$h = 40 \text{ см}$
$\alpha = 30^{\circ}$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0.05 \text{ кг}$
$m_2 = 0.1 \text{ кг}$
$h = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое соударение шаров и последующий подъем слипшихся шаров на высоту $\text{h}$.

1. Абсолютно неупругое соударение.

Поскольку удар происходит под углом к горизонту, а шар на стержне может двигаться только по дуге (то есть горизонтально в момент удара), то импульс системы не сохраняется в целом из-за действия силы натяжения стержня. Однако в момент удара внешние силы (сила тяжести, сила натяжения) направлены вертикально. Это означает, что в проекции на горизонтальную ось внешние силы отсутствуют, и мы можем применить закон сохранения импульса для горизонтальной составляющей.

Пусть $v_1$ — скорость пластилинового шара до удара, а $\text{u}$ — скорость слипшихся шаров сразу после удара. Скорость $\text{u}$ направлена горизонтально.

Горизонтальная составляющая импульса системы до удара: $p_{x1} = m_1 v_1 \cos\alpha$. Шар на стержне покоится, его импульс равен нулю.

Горизонтальная составляющая импульса системы сразу после удара: $p_{x2} = (m_1 + m_2) u$.

Согласно закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$p_{x1} = p_{x2}$

$m_1 v_1 \cos\alpha = (m_1 + m_2) u$

Отсюда можем выразить искомую скорость $v_1$:

$v_1 = \frac{(m_1 + m_2) u}{m_1 \cos\alpha}$

2. Подъем слипшихся шаров.

После соударения система из двух шаров обладает кинетической энергией и, двигаясь по дуге, поднимается на высоту $\text{h}$. На этом этапе работает закон сохранения механической энергии. Сила натяжения стержня перпендикулярна скорости движения, поэтому ее работа равна нулю.

Начальная энергия системы (сразу после удара, в нижней точке): кинетическая энергия $E_к = \frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$. Потенциальную энергию примем за ноль.

Конечная энергия системы (в верхней точке траектории на высоте $\text{h}$): скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия $E_п = (m_1+m_2)gh$.

По закону сохранения энергии:

$E_к = E_п$

$\frac{(m_1+m_2)u^2}{2} = (m_1+m_2)gh$

Сократив массу, найдем скорость $\text{u}$ сразу после удара:

$\frac{u^2}{2} = gh \implies u = \sqrt{2gh}$

3. Вычисления.

Сначала найдем скорость $\text{u}$:

$u = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.4 \text{ м}} = \sqrt{7.84} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2.8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь подставим значение $\text{u}$ в формулу для $v_1$:

$v_1 = \frac{(m_1 + m_2) u}{m_1 \cos\alpha} = \frac{(0.05 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}) \cdot 2.8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{0.05 \text{ кг} \cdot \cos(30^{\circ})}$

Так как $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, получим:

$v_1 = \frac{0.15 \cdot 2.8}{0.05 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \cdot 2.8}{\sqrt{3}} = \frac{16.8}{\sqrt{3}} \approx 9.7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_1 \approx 9.7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.