Номер 9, страница 200, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 9, страница 200.

Условие.

9. Снаряд вылетел из орудия вертикально вверх и разорвался на два осколка в верхней точке траектории. Скорость одного из осколков сразу после разрыва направлена горизонтально. Масса первого осколка в 3 раза меньше массы второго осколка. На каком расстоянии от орудия упал второй осколок, если первый осколок упал на землю на расстоянии 9 км от орудия? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:
Снаряд разрывается в верхней точке траектории.
Масса первого осколка $m_1$.
Масса второго осколка $m_2$.
Соотношение масс: $m_2 = 3m_1$.
Скорость первого осколка $\vec{v_1}$ направлена горизонтально.
Расстояние падения первого осколка $L_1 = 9$ км.

$L_1 = 9 \text{ км} = 9 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:
Расстояние падения второго осколка $L_2$.

Решение:

Снаряд разрывается в верхней точке траектории, где его скорость равна нулю. Следовательно, начальный импульс системы (снаряда) перед разрывом равен нулю: $\vec{P}_{до} = 0$.

Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы, состоящей из осколков. Так как внешними силами в горизонтальном направлении можно пренебречь (сопротивление воздуха не учитывается), то для горизонтальной составляющей импульса системы выполняется закон сохранения импульса.

Пусть $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — скорости осколков сразу после разрыва. Импульс системы после разрыва равен $\vec{P}_{после} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$.

Согласно закону сохранения импульса:
$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$
$0 = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$
Отсюда следует, что $m_1\vec{v_1} = -m_2\vec{v_2}$.

Это векторное равенство означает, что векторы скоростей осколков направлены в противоположные стороны. Поскольку по условию скорость первого осколка $\vec{v_1}$ направлена горизонтально, то и скорость второго осколка $\vec{v_2}$ также будет направлена горизонтально, но в противоположную сторону.Для модулей скоростей справедливо равенство: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.

Используя соотношение масс $m_2 = 3m_1$, найдем связь между модулями скоростей:
$m_1 v_1 = (3m_1) v_2$
$v_1 = 3v_2$, или $v_2 = \frac{v_1}{3}$.

После разрыва оба осколка начинают свободное падение с одной и той же высоты $\text{H}$ с нулевой начальной вертикальной скоростью. Следовательно, время их падения $\text{t}$ будет одинаковым. Время падения определяется из формулы $H = \frac{gt^2}{2}$, откуда $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Расстояние, которое пролетит каждый осколок по горизонтали, равно произведению его горизонтальной скорости на время полета:
Для первого осколка: $L_1 = v_1 t$
Для второго осколка: $L_2 = v_2 t$

Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_2 t}{v_1 t} = \frac{v_2}{v_1}$

Подставим найденное соотношение скоростей $v_2 = v_1/3$:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{v_1/3}{v_1} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим искомое расстояние $L_2$:
$L_2 = \frac{L_1}{3} = \frac{9 \text{ км}}{3} = 3 \text{ км}$.

Ответ: второй осколок упал на расстоянии 3 км от орудия.