Номер 5, страница 198, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 5, страница 198.

Условие.

5. В ситуации, рассмотренной в предыдущей задаче, брусок подвешен на нити так, что может вращаться по окружности в вертикальной плоскости. Какова должна быть минимальная скорость пули, чтобы брусок с пулей совершил полный оборот по окружности?

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса пули

$\text{M}$ - масса бруска

$\text{l}$ - длина нити

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

$\text{v}$ - минимальная скорость пули

Решение:

Задача состоит из двух частей: абсолютно неупругое столкновение пули и бруска и последующее движение системы "брусок+пуля" по окружности в вертикальной плоскости. Мы будем решать ее в обратном порядке: сначала найдем, какую минимальную скорость должна иметь система в нижней точке, чтобы совершить полный оборот, а затем, используя закон сохранения импульса, найдем начальную скорость пули.

1. Движение по окружности.

Чтобы система "брусок+пуля" совершила полный оборот, она должна пройти верхнюю точку траектории, не упав. Минимальная скорость в верхней точке соответствует условию, когда сила натяжения нити $\text{T}$ становится равной нулю. В этот момент единственной силой, сообщающей телу центростремительное ускорение, является сила тяжести.

Запишем второй закон Ньютона для системы в верхней точке траектории:

$(m+M)g + T = \frac{(m+M)v_{верх}^2}{l}$

При минимальной скорости $T=0$, следовательно:

$(m+M)g = \frac{(m+M)v_{верх}^2}{l}$

$g = \frac{v_{верх}^2}{l} \implies v_{верх} = \sqrt{gl}$

Теперь, используя закон сохранения энергии, найдем скорость системы $\text{U}$ в нижней точке, которая необходима для достижения скорости $v_{верх}$ в верхней точке. Примем потенциальную энергию в нижней точке равной нулю. Тогда в верхней точке высота будет $h = 2l$.

$E_{низ} = E_{верх}$

$\frac{(m+M)U^2}{2} + 0 = \frac{(m+M)v_{верх}^2}{2} + (m+M)g(2l)$

Разделим обе части на $(m+M)$:

$\frac{U^2}{2} = \frac{v_{верх}^2}{2} + 2gl$

Подставим найденное значение $v_{верх}^2 = gl$:

$\frac{U^2}{2} = \frac{gl}{2} + 2gl = \frac{5gl}{2}$

$U^2 = 5gl \implies U = \sqrt{5gl}$

Это минимальная скорость, которую должна иметь система "брусок+пуля" сразу после столкновения в нижней точке траектории, чтобы совершить полный оборот.

2. Неупругое столкновение.

В момент столкновения пули с бруском выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до столкновения равен импульсу пули (поскольку брусок покоится). Импульс после столкновения равен импульсу системы "брусок+пуля", движущейся со скоростью $\text{U}$.

$p_{до} = p_{после}$

$mv = (m+M)U$

Отсюда выразим искомую минимальную скорость пули $\text{v}$:

$v = \frac{m+M}{m}U$

Подставим найденное ранее значение $U = \sqrt{5gl}$:

$v = \frac{m+M}{m}\sqrt{5gl}$

Ответ: Минимальная скорость пули должна быть $v = \frac{m+M}{m}\sqrt{5gl}$, где $\text{m}$ - масса пули, $\text{M}$ - масса бруска, $\text{l}$ - длина нити, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.