Номер 17, страница 196, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 17, страница 196.

Условие.

17. Шайбе, лежащей внутри гладкого закрепленного цилиндра с горизонтальной осью, сообщают горизонтально направленную скорость 3 м/с, перпендикулярную оси цилиндра. Чему равен внутренний диаметр цилиндра, если шайба отрывается от его поверхности на высоте 40 см?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость шайбы, $v_0 = 3$ м/с

Высота отрыва шайбы от нижней точки, $h = 40$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$h = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Внутренний диаметр цилиндра, $\text{D}$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем закон сохранения энергии и второй закон Ньютона.

1. Закон сохранения механической энергии. Так как поверхность цилиндра гладкая (трение отсутствует), полная механическая энергия шайбы сохраняется. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самую нижнюю точку траектории шайбы.

В начальный момент (в нижней точке) шайба обладает только кинетической энергией:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2}$

где $\text{m}$ - масса шайбы.

В момент отрыва на высоте $\text{h}$ шайба будет иметь скорость $\text{v}$, а её полная энергия будет состоять из кинетической и потенциальной энергий:

$E_h = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии $E_0 = E_h$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для квадрата скорости в момент отрыва:

$v_0^2 = v^2 + 2gh \implies v^2 = v_0^2 - 2gh \quad (1)$

2. Второй закон Ньютона. В момент отрыва сила нормальной реакции $\text{N}$, действующая на шайбу со стороны поверхности цилиндра, становится равной нулю. Рассмотрим силы, действующие на шайбу в этот момент в проекции на радиальное направление (к центру окружности). Это проекция силы тяжести и сила нормальной реакции. Пусть $\text{R}$ - радиус цилиндра.

Угол $\alpha$ между вертикалью и радиусом, проведенным к шайбе в точке отрыва, можно найти из геометрии: $h = R - R\cos\alpha$, откуда $\cos\alpha = \frac{R-h}{R}$.

Второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру цилиндра:

$N + mg\cos\alpha = ma_c$

где $a_c = \frac{v^2}{R}$ - центростремительное ускорение. В момент отрыва $N=0$, поэтому:

$mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда $v^2 = gR\cos\alpha$. Подставив выражение для $\cos\alpha$, получим:

$v^2 = gR \left( \frac{R-h}{R} \right) = g(R-h) \quad (2)$

3. Нахождение диаметра. Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$v_0^2 - 2gh = g(R-h)$

$v_0^2 - 2gh = gR - gh$

$v_0^2 - gh = gR$

Выразим радиус $\text{R}$:

$R = \frac{v_0^2 - gh}{g} = \frac{v_0^2}{g} - h$

Внутренний диаметр цилиндра равен $D=2R$.

$D = 2 \left( \frac{v_0^2}{g} - h \right)$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$D = 2 \left( \frac{(3 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} - 0.4 \text{ м} \right) = 2 \left( \frac{9}{10} \text{ м} - 0.4 \text{ м} \right) = 2 (0.9 \text{ м} - 0.4 \text{ м}) = 2 \cdot 0.5 \text{ м} = 1 \text{ м}$

Ответ: внутренний диаметр цилиндра равен $\text{1}$ м.