Номер 10, страница 194, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 10, страница 194.

Условие.

10. На вершине гладкой закреплённой полусферы радиусом $\text{r}$ лежит небольшая шайба, которая начинает соскальзывать от очень слабого толчка и в некоторой точке отрывается от полусферы (рис. 19.10).

а) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы для любого момента, когда она ещё скользит по полусфере. Обозначьте $\text{v}$ модуль скорости шайбы в этот момент, $\text{h}$ — высоту, на которой находится шайба.

б) Запишите в проекциях на ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шайбы в тот же момент. Обозначьте $\text{N}$ модуль силы нормальной реакции, действующей на шайбу со стороны полусферы, ось $\text{x}$ направьте из положения шайбы к центру окружности.

в) Найдите выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от полусферы.

Решение 2.

Дано:

Радиус полусферы: $\text{r}$
Масса шайбы: $\text{m}$
Начальная скорость: $v_0 \approx 0$
Начальная высота: $h_0 = r$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Поверхность гладкая (трение отсутствует).

Найти:

а) Уравнение сохранения механической энергии.
б) Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось x.
в) Выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от полусферы.

Решение:

а) Запишем закон сохранения механической энергии для шайбы. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне основания полусферы.

В начальный момент времени шайба находится на вершине полусферы на высоте $h_0 = r$ и её скорость равна нулю ($v_0 = 0$). Полная механическая энергия в этот момент $E_0$ равна её потенциальной энергии:

$E_0 = E_{p0} + E_{k0} = mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2} = mgr + 0 = mgr$

В произвольный момент времени, когда шайба скользит по полусфере и находится на высоте $\text{h}$ от основания, её скорость равна $\text{v}$. Полная механическая энергия $\text{E}$ в этот момент складывается из потенциальной и кинетической энергий:

$E = E_p + E_k = mgh + \frac{mv^2}{2}$

Поскольку поверхность гладкая (нет трения) и сила нормальной реакции всегда перпендикулярна вектору скорости (не совершает работы), полная механическая энергия шайбы сохраняется, то есть $E_0 = E$.

Таким образом, уравнение, выражающее сохранение механической энергии, имеет вид:

$mgr = mgh + \frac{mv^2}{2}$

Ответ: $mgr = mgh + \frac{mv^2}{2}$

б) Запишем второй закон Ньютона для шайбы в тот же момент времени. На шайбу действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная по радиусу от центра полусферы. Шайба движется по дуге окружности, поэтому она обладает центростремительным ускорением $a_ц = \frac{v^2}{r}$, направленным к центру окружности.

Второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a_ц} = m\vec{g} + \vec{N}$.

Спроецируем это уравнение на ось $\text{x}$, направленную от положения шайбы к центру окружности (радиально внутрь). Пусть $\theta$ — угол между вертикалью и радиус-вектором, проведенным к шайбе. Тогда проекция силы тяжести на ось $\text{x}$ будет $mg \cos\theta$. Проекция силы нормальной реакции $\vec{N}$ на эту же ось будет $-N$, так как она направлена в противоположную сторону. Проекция центростремительного ускорения равна его модулю $a_ц$.

Уравнение в проекции на ось $\text{x}$:

$m a_ц = mg \cos\theta - N$

Из геометрии следует, что высота $\text{h}$ связана с углом $\theta$ соотношением $h = r \cos\theta$, откуда $\cos\theta = \frac{h}{r}$. Подставляя это выражение и $a_ц = \frac{v^2}{r}$ в уравнение, получаем:

$m\frac{v^2}{r} = mg\frac{h}{r} - N$

Ответ: $m\frac{v^2}{r} = mg\frac{h}{r} - N$

в) Отрыв шайбы от поверхности произойдет в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры обратится в ноль, то есть $N=0$.

Подставим условие отрыва $N=0$ в уравнение из пункта б):

$m\frac{v^2}{r} = mg\frac{h}{r}$

Сократив $\text{m}$ и $\text{r}$, получим условие для скорости в момент отрыва: $v^2 = gh$.

Теперь подставим это выражение для $v^2$ в уравнение сохранения энергии из пункта а):

$mgr = mgh + \frac{m(gh)}{2}$

Сократим обе части уравнения на $mg$ (так как $m \neq 0$ и $g \neq 0$):

$r = h + \frac{h}{2}$

$r = \frac{3}{2}h$

Отсюда выражаем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{2}{3}r$

Ответ: $h = \frac{2}{3}r$