Номер 8, страница 194, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 8, страница 194.

Условие.

8. Небольшая шайба массой $\text{m}$ скользит по жёлобу, переходящему в окружность радиусом $\text{r}$. Начальная высота шайбы $H = 2r$. Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Обозначим $\text{h}$ высоту, на которой шайба оторвётся от жёлоба.

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на шайбу в момент, когда она отрывается от жёлоба.

б) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в точку, где шайба отрывается от жёлоба. Обозначьте $\text{v}$ модуль скорости шайбы в этот момент.

в) Запишите в проекциях на ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шайбы в момент, когда она отрывается от жёлоба. Ось $\text{x}$ направьте из положения шайбы к центру окружности.

г) Найдите выражение для высоты $\text{h}$, на которой шайба оторвётся от жёлоба.

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса шайбы
$\text{r}$ - радиус окружности жёлоба
$H = 2r$ - начальная высота шайбы
$\text{v}$ - скорость шайбы в момент отрыва
$\text{h}$ - высота шайбы в момент отрыва

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на шайбу в момент, когда она отрывается от жёлоба.

В момент отрыва шайбы от жёлоба сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ обращается в ноль, так как прекращается контакт шайбы с поверхностью. Таким образом, на шайбу действует только одна внешняя сила – сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
Ответ: В момент отрыва на шайбу действует только сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

б) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в точку, где шайба отрывается от жёлоба. Обозначьте v модуль скорости шайбы в этот момент.

Так как по условию трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то полная механическая энергия системы (шайба в поле тяжести Земли) сохраняется. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку окружности.
Начальная полная механическая энергия шайбы (на высоте $H=2r$, скорость равна нулю):
$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgH + 0 = mg(2r) = 2mgr$
Полная механическая энергия шайбы в момент отрыва (на высоте $\text{h}$ и со скоростью $\text{v}$):
$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$.
Ответ: $2mgr = mgh + \frac{1}{2}mv^2$

в) Запишите в проекциях на ось x уравнение второго закона Ньютона для шайбы в момент, когда она отрывается от жёлоба. Ось x направьте из положения шайбы к центру окружности.

В момент отрыва шайба всё ещё движется по траектории, являющейся дугой окружности. Следовательно, её ускорение является центростремительным и направлено к центру окружности, $a_ц = \frac{v^2}{r}$. Так как ось $\text{x}$ направлена к центру окружности, то проекция ускорения на эту ось $a_x = a_ц = \frac{v^2}{r}$.
На шайбу действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (вертикально вниз) и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (перпендикулярно поверхности). В момент отрыва $N = 0$.
Спроецируем единственную действующую силу $m\vec{g}$ на ось $\text{x}$. Пусть $\alpha$ – угол между вертикалью и радиусом, проведённым к шайбе из центра окружности. Тогда проекция силы тяжести на ось $\text{x}$ (радиальное направление) равна $mg\cos{\alpha}$.
Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $\text{x}$: $\sum F_x = ma_x$.
$mg\cos{\alpha} = m\frac{v^2}{r}$
Ответ: $mg\cos{\alpha} = m\frac{v^2}{r}$, где $\alpha$ - угол между вертикалью и радиусом, проведенным к точке отрыва.

г) Найдите выражение для высоты h, на которой шайба оторвётся от жёлоба.

Для решения задачи используем систему из двух уравнений, полученных в пунктах б) и в).
1) Из закона сохранения энергии: $2mgr = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
2) Из второго закона Ньютона: $mg\cos{\alpha} = m\frac{v^2}{r}$
Свяжем высоту $\text{h}$ и угол $\alpha$. Если центр окружности находится на высоте $\text{r}$ от нулевого уровня, то высота $\text{h}$ точки на окружности определяется как $h = r + r\cos{\alpha} = r(1+\cos{\alpha})$. Отсюда выразим $\cos{\alpha} = \frac{h-r}{r}$.
Подставим это выражение в уравнение (2):
$mg\frac{h-r}{r} = m\frac{v^2}{r}$
Сократив на $m/r$, получим выражение для квадрата скорости: $v^2 = g(h-r)$.
Теперь подставим это выражение для $v^2$ в уравнение (1):
$2mgr = mgh + \frac{1}{2}m(g(h-r))$
Сократим обе части на $mg$:
$2r = h + \frac{1}{2}(h-r)$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$4r = 2h + h - r$
$5r = 3h$
$h = \frac{5}{3}r$
Ответ: $h = \frac{5}{3}r$