Номер 5, страница 192, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 5, страница 192.

Условие.

5. Подвешенный на нити шарик вращается в вертикальной плоскости. При этом минимально возможная сила натяжения нити в момент, когда нить горизонтальна, равна 3 Н.

а) Чему равна масса шарика?

б) В каких пределах изменяется сила натяжения нити при движении шарика?

Решение 2.

Дано:

$T_{H,min} = 3 \, \text{Н}$

$g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

а) $\text{m}$ — ?

б) $T_{min}$, $T_{max}$ — ?

Решение:

Рассмотрим движение шарика в вертикальной плоскости. Пусть $\text{m}$ — масса шарика, $\text{l}$ — длина нити, $\text{v}$ — скорость шарика.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в трех характерных точках траектории: верхней, нижней и в точке, где нить горизонтальна.

1. В верхней точке (индекс "в"):

$T_в + mg = m \frac{v_в^2}{l} \implies T_в = m \frac{v_в^2}{l} - mg$

Для того чтобы шарик совершил полный оборот, нить не должна провисать, то есть сила натяжения в верхней точке должна быть неотрицательной: $T_в \ge 0$. Минимальная скорость в верхней точке, при которой это условие выполняется, соответствует $T_в = 0$, откуда $v_{в,min}^2 = gl$.

2. В точке, где нить горизонтальна (индекс "г"):

В этом положении сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила натяжения — горизонтально к центру окружности. Сила натяжения и создает центростремительное ускорение:

$T_г = m \frac{v_г^2}{l}$

Свяжем скорости в верхней и горизонтальной точках с помощью закона сохранения энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку траектории. Тогда высота в горизонтальном положении равна $\text{l}$, а в верхнем — $2l$.

$\frac{m v_г^2}{2} + mgl = \frac{m v_в^2}{2} + mg(2l)$

$v_г^2 = v_в^2 + 2gl$

Подставим это выражение в формулу для силы натяжения в горизонтальном положении:

$T_г = \frac{m(v_в^2 + 2gl)}{l} = m \frac{v_в^2}{l} + 2mg$

Согласно условию, сила натяжения в горизонтальном положении минимально возможная. Это соответствует движению с минимально возможной скоростью, то есть когда $v_в^2 = v_{в,min}^2 = gl$.

Тогда $T_{г,min} = \frac{m(gl)}{l} + 2mg = mg + 2mg = 3mg$.

а) Чему равна масса шарика?

По условию задачи, $T_{г,min} = 3 \, \text{Н}$.

Следовательно, $3mg = 3 \, \text{Н}$, откуда $mg = 1 \, \text{Н}$.

Найдем массу шарика, приняв $g = 10 \, \text{м/с}^2$:

$m = \frac{1 \, \text{Н}}{g} = \frac{1 \, \text{Н}}{10 \, \text{м/с}^2} = 0.1 \, \text{кг}$.

Ответ: Масса шарика равна $0.1 \, \text{кг}$.

б) В каких пределах изменяется сила натяжения нити при движении шарика?

Сила натяжения нити минимальна в верхней точке траектории и максимальна в нижней. Мы рассматриваем случай, соответствующий минимально возможной силе натяжения в горизонтальной точке, что означает, что скорость в верхней точке минимальна. Как мы выяснили, при этом $T_в = 0$.

Следовательно, минимальная сила натяжения нити в процессе движения равна:

$T_{min} = T_в = 0 \, \text{Н}$.

Теперь найдем максимальную силу натяжения в нижней точке (индекс "н").

Второй закон Ньютона для нижней точки:

$T_н - mg = m \frac{v_н^2}{l} \implies T_н = mg + m \frac{v_н^2}{l}$

Свяжем скорость в нижней точке со скоростью в верхней точке по закону сохранения энергии:

$\frac{m v_н^2}{2} = \frac{m v_в^2}{2} + mg(2l)$

$v_н^2 = v_в^2 + 4gl$

Подставим в это выражение минимальную скорость в верхней точке $v_в^2 = gl$:

$v_н^2 = gl + 4gl = 5gl$

Теперь найдем максимальную силу натяжения:

$T_{max} = T_н = mg + \frac{m(5gl)}{l} = mg + 5mg = 6mg$

Так как из пункта а) мы знаем, что $mg = 1 \, \text{Н}$, получаем:

$T_{max} = 6 \cdot 1 \, \text{Н} = 6 \, \text{Н}$.

Таким образом, сила натяжения нити изменяется в пределах от 0 Н до 6 Н.

Ответ: Сила натяжения нити изменяется в пределах от $0 \, \text{Н}$ до $6 \, \text{Н}$.