Номер 6, страница 192, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 6, страница 192.

Условие.

6. Висящему на лёгком стержне длиной $\text{l}$ шарику массой $\text{m}$ сообщают толчком такую скорость, что он начинает двигаться по окружности в вертикальной плоскости.

а) Чему равна минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории?

б) Чему равна минимально возможная скорость шарика в нижней точке траектории?

в) С каким по модулю ускорением движется шарик в нижней точке траектории при минимально возможной скорости? Как направлено это ускорение?

г) Чему равен минимально возможный вес шарика в нижней точке траектории?

Решение 2.

Дано:

Длина стержня: $\text{l}$
Масса шарика: $\text{m}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

a) $v_{верх.мин}$ - минимально возможная скорость шарика в верхней точке.
б) $v_{нижн.мин}$ - минимально возможная скорость шарика в нижней точке.
в) $a_{нижн.мин}$ - модуль и направление ускорения в нижней точке при минимальной скорости.
г) $P_{нижн.мин}$ - минимально возможный вес шарика в нижней точке.

Решение:

а) Чему равна минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории?

В верхней точке траектории на шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила реакции стержня $\text{N}$. Обе силы направлены вертикально вниз, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая создает центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{верх}^2}{l}$:

$mg + N = m \frac{v_{верх}^2}{l}$

В отличие от нити, которая может быть только растянута (сила натяжения $T \ge 0$), стержень может быть как растянут (сила реакции $N > 0$), так и сжат ($N < 0$). Для совершения полного оборота шарику достаточно лишь достигнуть верхней точки траектории. Минимальная скорость в этой точке соответствует случаю, когда шарик на мгновение останавливается, то есть $v_{верх} = 0$.

При $v_{верх} = 0$ из уравнения движения находим силу реакции стержня:

$mg + N = 0 \implies N = -mg$

Отрицательное значение $\text{N}$ означает, что стержень сжат и действует на шарик с силой, направленной вверх, которая уравновешивает силу тяжести. Так как стержень может выдерживать сжатие, такая ситуация физически возможна. Следовательно, минимальная скорость шарика в верхней точке может быть равна нулю.

Ответ: $v_{верх.мин} = 0$

б) Чему равна минимально возможная скорость шарика в нижней точке траектории?

Для нахождения скорости в нижней точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Установим нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке траектории ($h_{нижн} = 0$). Тогда высота в верхней точке будет $h_{верх} = 2l$.

Полная механическая энергия в нижней точке: $E_{нижн} = \frac{1}{2}mv_{нижн}^2 + 0$

Полная механическая энергия в верхней точке: $E_{верх} = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + mg(2l)$

По закону сохранения энергии $E_{нижн} = E_{верх}$:

$\frac{1}{2}mv_{нижн}^2 = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + 2mgl$

Минимально возможная скорость в нижней точке $v_{нижн.мин}$ соответствует минимальной скорости в верхней точке, которая, как мы выяснили в пункте (а), равна $v_{верх.мин} = 0$. Подставляем это значение в уравнение:

$\frac{1}{2}mv_{нижн.мин}^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 + 2mgl$

$v_{нижн.мин}^2 = 4gl$

$v_{нижн.мин} = \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$

Ответ: $v_{нижн.мин} = 2\sqrt{gl}$

в) С каким по модулю ускорением движется шарик в нижней точке траектории при минимально возможной скорости? Как направлено это ускорение?

В нижней точке траектории вектор скорости шарика горизонтален, а сила тяжести вертикальна, поэтому тангенциальная составляющая ускорения равна нулю. Ускорение шарика в этой точке является чисто центростремительным и направлено вертикально вверх, к центру окружности.

Модуль центростремительного ускорения вычисляется по формуле $a_ц = \frac{v^2}{l}$.

При минимально возможной скорости $v = v_{нижн.мин}$ модуль ускорения будет равен:

$a_{нижн.мин} = \frac{v_{нижн.мин}^2}{l} = \frac{(2\sqrt{gl})^2}{l} = \frac{4gl}{l} = 4g$

Ответ: Модуль ускорения равен $4g$, ускорение направлено вертикально вверх.

г) Чему равен минимально возможный вес шарика в нижней точке траектории?

Вес шарика $\text{P}$ – это сила, с которой шарик действует на опору (в данном случае, на стержень). По третьему закону Ньютона, вес равен по модулю силе реакции опоры $\text{N}$, действующей на шарик.

В нижней точке траектории на шарик действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и сила реакции стержня $\text{N}$ (вверх). Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$N - mg = ma_ц = m\frac{v_{нижн}^2}{l}$

Отсюда сила реакции стержня: $N = mg + m\frac{v_{нижн}^2}{l}$.

Минимально возможный вес $P_{мин}$ соответствует движению с минимально возможной скоростью $v_{нижн.мин}$.

$P_{мин} = N_{мин} = mg + m\frac{v_{нижн.мин}^2}{l}$

Из пункта (б) мы знаем, что $v_{нижн.мин}^2 = 4gl$. Подставляем это значение:

$P_{мин} = mg + m\frac{4gl}{l} = mg + 4mg = 5mg$

Ответ: $P_{мин} = 5mg$