Номер 13, страница 195, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 13, страница 195.

Условие.

13. Маленькая шайба массой $\text{m}$ начинает скользить из состояния покоя по внутренней гладкой поверхности закреплённой полусферы радиусом $\text{R}$ (рис. 19.12). В начальный момент шайба находится на высоте $\frac{R}{2}$, считая от нижней точки полусферы. В рассматриваемый момент шайба движется вверх и находится на высоте $\frac{R}{6}$. Рис. 19.12

а) Чему равен модуль скорости $\text{v}$ шайбы в этот момент?

б) Чему равен модуль нормального ускорения шайбы?

в) Чему равен модуль $\text{N}$ действующей на шайбу силы нормальной реакции?

г) Найдите построением направление равнодействующей $\vec{F}$ приложенных к шайбе сил.

д) Найдите построением направление ускорения $\vec{a}$ шайбы.

Решение 2.

Дано:

Масса шайбы: $\text{m}$
Радиус полусферы: $\text{R}$
Начальная высота: $h_1 = \frac{R}{2}$
Начальная скорость: $v_1 = 0$
Рассматриваемая высота: $h_2 = \frac{R}{6}$
Поверхность гладкая (трение отсутствует).

Найти:

a) $\text{v}$ - модуль скорости шайбы в рассматриваемый момент
б) $a_n$ - модуль нормального ускорения шайбы
в) $\text{N}$ - модуль силы нормальной реакции
г) Направление равнодействующей силы $\vec{F}$
д) Направление ускорения $\vec{a}$

Решение:

а) Чему равен модуль скорости v шайбы в этот момент?

Поскольку поверхность гладкая, трение отсутствует. Сила нормальной реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает. Следовательно, для системы шайба-Земля выполняется закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку полусферы.

Начальная энергия шайбы в состоянии покоя на высоте $h_1$: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = 0 + mg\frac{R}{2} = \frac{mgR}{2}$

Энергия шайбы в рассматриваемый момент на высоте $h_2$ при скорости $\text{v}$: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 = \frac{mv^2}{2} + mg\frac{R}{6}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$: $\frac{mgR}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mgR}{6}$

Выразим $\frac{mv^2}{2}$: $\frac{mv^2}{2} = \frac{mgR}{2} - \frac{mgR}{6} = \frac{3mgR - mgR}{6} = \frac{2mgR}{6} = \frac{mgR}{3}$

Отсюда находим квадрат скорости: $v^2 = \frac{2gR}{3}$

Модуль скорости равен: $v = \sqrt{\frac{2gR}{3}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{2gR}{3}}$

б) Чему равен модуль нормального ускорения шайбы?

Модуль нормального (центростремительного) ускорения определяется по формуле: $a_n = \frac{v^2}{R}$

Подставим найденное в пункте а) значение $v^2$: $a_n = \frac{1}{R} \cdot \frac{2gR}{3} = \frac{2}{3}g$

Ответ: $a_n = \frac{2}{3}g$

в) Чему равен модуль N действующей на шайбу силы нормальной реакции?

Рассмотрим силы, действующие на шайбу в радиальном направлении (вдоль радиуса к центру полусферы). Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление. На шайбу действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$.

Найдём угол $\alpha$ между радиусом, проведенным к шайбе, и вертикалью. Из геометрии: $\cos\alpha = \frac{R - h_2}{R} = \frac{R - R/6}{R} = \frac{5R/6}{R} = \frac{5}{6}$

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ направлена к центру полусферы. Проекция силы тяжести на радиальное направление $mg\cos\alpha$ направлена от центра. Сумма проекций этих сил создает центростремительную силу $ma_n$: $N - mg\cos\alpha = ma_n$

Выразим $\text{N}$: $N = ma_n + mg\cos\alpha$

Подставим известные значения $a_n = \frac{2}{3}g$ и $\cos\alpha = \frac{5}{6}$: $N = m \cdot \frac{2}{3}g + mg \cdot \frac{5}{6} = mg(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}) = mg(\frac{4}{6} + \frac{5}{6}) = mg\frac{9}{6} = \frac{3}{2}mg$

Ответ: $N = \frac{3}{2}mg$

г) Найдите построением направление равнодействующей $\vec{F}$ приложенных к шайбе сил.

На шайбу действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная по радиусу к центру полусферы. Равнодействующая сила $\vec{F}$ является их векторной суммой: $\vec{F} = m\vec{g} + \vec{N}$.

Построение:

1. Из точки, изображающей шайбу, начертить вектор силы тяжести $m\vec{g}$ вертикально вниз.

2. Из той же точки начертить вектор силы нормальной реакции $\vec{N}$, направленный перпендикулярно касательной к поверхности в данной точке (то есть по радиусу к центру полусферы).

3. Сложить эти два вектора по правилу параллелограмма. Вектор равнодействующей силы $\vec{F}$ будет диагональю этого параллелограмма, исходящей из точки приложения сил.

Ответ: Направление равнодействующей силы $\vec{F}$ совпадает с направлением диагонали параллелограмма, построенного на векторах силы тяжести $m\vec{g}$ и силы нормальной реакции $\vec{N}$.

д) Найдите построением направление ускорения $\vec{a}$ шайбы.

Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$. Это означает, что вектор полного ускорения шайбы $\vec{a}$ всегда сонаправлен с вектором равнодействующей силы $\vec{F}$.

Следовательно, построение для нахождения направления вектора ускорения $\vec{a}$ полностью идентично построению для нахождения направления равнодействующей силы $\vec{F}$, описанному в пункте г).

Ответ: Направление вектора ускорения $\vec{a}$ совпадает с направлением равнодействующей силы $\vec{F}$.