Номер 16, страница 196, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 16, страница 196.

Условие.

16. Подвешенный на нити шарик отклонили в сторону так, что нить стала горизонтальной, и отпустили без толчка.

а) Какой угол с вертикалью образует нить в момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально?

б) Чему равен в этот момент модуль ускорения шарика?

Решение 2.

Дано:

Шарик на нити отпускают из положения, где нить горизонтальна, без начальной скорости.

В некоторый момент времени полное ускорение шарика $\vec{a}$ направлено горизонтально.

Найти:

а) Угол $\alpha$, который образует нить с вертикалью в этот момент.

б) Модуль полного ускорения $\text{a}$ в этот момент.

Решение:

Полное ускорение шарика $\vec{a}$ можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: тангенциальное (касательное) ускорение $\vec{a}_\tau$, направленное по касательной к траектории, и нормальное (центростремительное) ускорение $\vec{a}_n$, направленное вдоль нити к центру окружности.

$\vec{a} = \vec{a}_\tau + \vec{a}_n$

Пусть $\alpha$ — угол между нитью и вертикалью. Вектор нормального ускорения $\vec{a}_n$ направлен вдоль нити, а вектор тангенциального ускорения $\vec{a}_\tau$ — перпендикулярно ей.

а) Какой угол с вертикалью образует нить в момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально?

По условию, вектор полного ускорения $\vec{a}$ направлен горизонтально. Это означает, что его вертикальная составляющая равна нулю. Запишем это условие, спроецировав векторы ускорений на вертикальную ось (направим ее вверх).

Вертикальная составляющая нормального ускорения направлена вверх и равна $a_{n,y} = a_n \cos\alpha$.

Вертикальная составляющая тангенциального ускорения направлена вниз и равна $a_{\tau,y} = -a_\tau \sin\alpha$.

Сумма вертикальных проекций равна нулю:

$a_n \cos\alpha - a_\tau \sin\alpha = 0$

$a_n \cos\alpha = a_\tau \sin\alpha$

Тангенциальное ускорение создается тангенциальной составляющей силы тяжести $F_{\tau} = mg\sin\alpha$. По второму закону Ньютона:

$ma_\tau = mg\sin\alpha \implies a_\tau = g\sin\alpha$

Нормальное ускорение определяется скоростью движения шарика $\text{v}$ и длиной нити $\text{L}$: $a_n = v^2/L$.

Скорость найдем из закона сохранения энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное (горизонтальное) положение нити. Начальная кинетическая и потенциальная энергии равны нулю. Когда нить образует угол $\alpha$ с вертикалью, шарик опускается на высоту $h=L\cos\alpha$. Его потенциальная энергия становится равной $U = -mgh = -mgL\cos\alpha$, а кинетическая $K = \frac{1}{2}mv^2$.

По закону сохранения энергии:

$K+U=0 \implies \frac{1}{2}mv^2 - mgL\cos\alpha = 0$

$v^2 = 2gL\cos\alpha$

Теперь найдем нормальное ускорение:

$a_n = \frac{v^2}{L} = \frac{2gL\cos\alpha}{L} = 2g\cos\alpha$

Подставим выражения для $a_\tau$ и $a_n$ в условие равенства вертикальных компонент:

$(2g\cos\alpha)\cos\alpha = (g\sin\alpha)\sin\alpha$

$2g\cos^2\alpha = g\sin^2\alpha$

$2 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tan^2\alpha$

Отсюда находим тангенс угла:

$\tan\alpha = \sqrt{2}$

Сам угол равен $\alpha = \arctan(\sqrt{2})$.

Ответ: Угол, который образует нить с вертикалью, определяется соотношением $\tan\alpha = \sqrt{2}$, что примерно составляет $54.7^\circ$.

б) Чему равен в этот момент модуль ускорения шарика?

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$, где $\vec{T}$ — сила натяжения нити. Отсюда $\vec{a} = \vec{g} + \vec{T}/m$.

Это векторное равенство можно представить в виде треугольника векторов. Вектор $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Вектор $\vec{a}$ по условию направлен горизонтально. Вектор $\vec{T}/m$ направлен вдоль нити, то есть под углом $\alpha$ к вертикали.

Спроецируем векторное уравнение на горизонтальную (ось x) и вертикальную (ось y) оси. Направим ось y вверх.

Проекция на ось y: $a_y = g_y + (T/m)_y$

$0 = -g + \frac{T}{m}\cos\alpha \implies \frac{T}{m} = \frac{g}{\cos\alpha}$

Проекция на ось x: $a_x = g_x + (T/m)_x$

Поскольку ускорение горизонтально, $a = |a_x|$. Предположим, шарик движется влево, тогда $a_x = -a$.

$a_x = 0 - \frac{T}{m}\sin\alpha = - \left(\frac{g}{\cos\alpha}\right)\sin\alpha = -g\tan\alpha$

Модуль ускорения равен:

$a = |a_x| = g\tan\alpha$

Из пункта а) мы знаем, что $\tan\alpha = \sqrt{2}$.

$a = g\sqrt{2}$

Ответ: Модуль ускорения шарика равен $a = g\sqrt{2}$.