Номер 3, страница 197, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 3, страница 197.

Условие.

3. Из пушки вылетел снаряд со скоростью 400 м/с под углом 60° к горизонту. В верхней точке траектории снаряд разорвался на два осколка равной массы, скорости которых сразу после разрыва направлены горизонтально. Первый осколок упал рядом с пушкой, из которой был произведён выстрел. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Сделайте пояснительный чертёж, на котором укажите скорость снаряда непосредственно перед разрывом и скорости осколков сразу после разрыва.

б) Чему равны скорости осколков сразу после разрыва?

в) На каком расстоянии от пушки упал второй осколок?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость снаряда, $v_0 = 400$ м/с

Угол к горизонту, $\alpha = 60^\circ$

Масса снаряда $\text{M}$

Массы осколков $m_1 = m_2 = M/2$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

а) Пояснительный чертёж

б) $v_1, v_2$ - скорости осколков сразу после разрыва

в) $L_2$ - расстояние от пушки, на котором упал второй осколок

Решение:

Движение снаряда до разрыва представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы "снаряд", поэтому для него применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, так как в этом направлении внешние силы (сила тяжести) не действуют.

а) Сделайте пояснительный чертёж, на котором укажите скорость снаряда непосредственно перед разрывом и скорости осколков сразу после разрыва.

На чертеже следует изобразить систему координат $OXY$, где ось $OX$ направлена горизонтально (в сторону выстрела), а ось $OY$ – вертикально вверх. Начало координат $\text{O}$ находится в точке выстрела.

Траектория полёта снаряда до разрыва – это парабола. В верхней точке траектории происходит разрыв снаряда.

Скорость снаряда непосредственно перед разрывом, $\vec{v}_{сн}$, направлена горизонтально (касательно к вершине параболы) в сторону полёта. В этой точке вертикальная составляющая скорости равна нулю.

После разрыва образуются два осколка. Их скорости, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, по условию, направлены горизонтально. Поскольку первый осколок упал рядом с пушкой (в точке $x=0$), его скорость $\vec{v}_1$ должна быть направлена в сторону, противоположную начальному движению снаряда (против оси $OX$). Скорость второго осколка $\vec{v}_2$ будет направлена в сторону движения снаряда (по оси $OX$). На чертеже векторы $\vec{v}_{сн}$ и $\vec{v}_2$ направлены вправо, а вектор $\vec{v}_1$ – влево, все три вектора горизонтальны.

Ответ: Чертёж должен изображать параболическую траекторию снаряда, в вершине которой показан горизонтальный вектор скорости снаряда $\vec{v}_{сн}$. Из этой же точки должны исходить два вектора скоростей осколков: $\vec{v}_1$ (направлен горизонтально в обратную сторону) и $\vec{v}_2$ (направлен горизонтально в ту же сторону, что и $\vec{v}_{сн}$).

б) Чему равны скорости осколков сразу после разрыва?

1. Найдём скорость снаряда в верхней точке траектории. В этой точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная остаётся постоянной на всём протяжении полёта и равна:

$v_{сн} = v_{x} = v_0 \cos \alpha = 400 \cdot \cos(60^\circ) = 400 \cdot 0.5 = 200$ м/с.

2. Запишем закон сохранения импульса для разрыва снаряда в проекции на горизонтальную ось $OX$:

$M v_{сн} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Поскольку $m_1 = m_2 = M/2$, получаем:

$M v_{сн} = \frac{M}{2} v_1 + \frac{M}{2} v_2$

$2 v_{сн} = v_1 + v_2$

3. Найдём скорость первого осколка $v_1$. Первый осколок упал у пушки, то есть его дальность полёта $L_1 = 0$. Дальность полёта складывается из горизонтального расстояния до точки разрыва ($L_{пик}$) и расстояния, которое осколок пролетел после разрыва ($L_{осколок1}$).

Время подъёма снаряда до верхней точки равно времени падения осколка с этой высоты: $t_{под} = t_{пад} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$.

Горизонтальное расстояние до точки разрыва: $L_{пик} = v_x \cdot t_{под} = (v_0 \cos \alpha) \cdot t_{под}$.

Горизонтальное расстояние, которое пролетел первый осколок после разрыва: $L_{осколок1} = v_1 \cdot t_{пад}$.

Полная дальность полёта первого осколка: $L_1 = L_{пик} + L_{осколок1} = (v_0 \cos \alpha) \cdot t_{под} + v_1 \cdot t_{пад} = 0$.

Так как $t_{под} = t_{пад} \neq 0$, можно сократить: $v_0 \cos \alpha + v_1 = 0$.

Отсюда $v_1 = -v_0 \cos \alpha = -200$ м/с. Знак "минус" указывает, что скорость направлена против оси $OX$.

4. Найдём скорость второго осколка $v_2$ из закона сохранения импульса:

$v_2 = 2 v_{сн} - v_1 = 2(v_0 \cos \alpha) - (-v_0 \cos \alpha) = 3 v_0 \cos \alpha$.

$v_2 = 3 \cdot 200 = 600$ м/с.

Ответ: Скорость первого осколка равна $200$ м/с и направлена в сторону, противоположную движению снаряда. Скорость второго осколка равна $600$ м/с и направлена в сторону движения снаряда.

в) На каком расстоянии от пушки упал второй осколок?

Дальность полёта второго осколка $L_2$ складывается из расстояния до точки разрыва $L_{пик}$ и расстояния, которое осколок пролетел после разрыва $L_{осколок2}$:

$L_2 = L_{пик} + L_{осколок2}$

Время падения осколка с высоты разрыва $t_{пад}$ мы нашли ранее: $t_{пад} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$.

$L_2 = (v_0 \cos \alpha) \cdot t_{пад} + v_2 \cdot t_{пад} = (v_0 \cos \alpha + v_2) \cdot t_{пад}$.

Подставим $v_2 = 3 v_0 \cos \alpha$ и $t_{пад} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$:

$L_2 = (v_0 \cos \alpha + 3 v_0 \cos \alpha) \cdot \frac{v_0 \sin \alpha}{g} = 4 v_0 \cos \alpha \cdot \frac{v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{4 v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$.

Используя формулу двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получим:

$L_2 = \frac{2 v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Это вдвое больше, чем дальность полёта неразорвавшегося снаряда $L_{полная} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Вычислим значение:

$L_2 = \frac{2 \cdot (400 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 60^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 160000 \cdot \sin(120^\circ)}{9.8} = \frac{320000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} \approx \frac{160000 \cdot 1.732}{9.8} \approx \frac{277120}{9.8} \approx 28278$ м.

Ответ: Второй осколок упал на расстоянии примерно $28278$ м (или $28.3$ км) от пушки.