Номер 7, страница 180, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 6, страница 199.

Условие.

6. На покоящуюся на гладком столе гладкую горку налетает шайба (рис. 20.2, а). Масса горки $M = 200$ г, её высота $H = 20$ см, масса шайбы $m = 20$ г. Когда шайба скользит по горке, она не отрывается от горки. В конечном состоянии горка и шайба движутся как единое целое (рис. 20.2, б).

Рис. 20.2

a) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы при их взаимодействии?

б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось $\text{x}$?

в) Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось $\text{x}$. Обозначьте общую конечную скорость шайбы и горки $\text{V}$.

г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?

д) Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки и шайбы.

е) С помощью полученной системы уравнений выведите выражения для конечной скорости горки с шайбой $\text{V}$ и начальной скорости шайбы $v_0$ и найдите их значения.

Решение 2.

а) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы при их взаимодействии?

Нет, суммарный векторный импульс системы "горка-шайба" не сохраняется. Во время движения шайбы по горке на систему действуют внешние вертикальные силы: силы тяжести шайбы и горки, а также сила нормальной реакции со стороны стола. Сумма этих сил не равна нулю, так как сила тяжести, действующая на шайбу, не скомпенсирована никакой внешней силой, приложенной к системе. Закон сохранения импульса выполняется только для замкнутых систем или когда сумма внешних сил равна нулю.

Ответ: Нет, не сохраняется.

б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось x?

Да, сохраняется. В горизонтальном направлении внешние силы на систему не действуют, так как по условию стол гладкий (трение отсутствует), а все остальные внешние силы (тяжести и реакция опоры) вертикальны. Согласно закону сохранения импульса, если проекция суммы внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется.

Ответ: Да, сохраняется.

в) Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось x. Обозначьте общую конечную скорость шайбы и горки V.

В начальный момент времени (рис. 20.2, а) импульс системы в проекции на ось x равен импульсу шайбы $m v_0$, так как горка покоится. В конечный момент (рис. 20.2, б), когда шайба и горка движутся как единое целое с общей скоростью $\text{V}$, их суммарный импульс равен $(m+M)V$.

Уравнение сохранения проекции импульса на ось x имеет вид:

$m v_0 = (m+M)V$

Ответ: $m v_0 = (m+M)V$.

г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?

Да, сохраняется. По условию, все поверхности гладкие, что означает отсутствие сил трения. Сопротивлением воздуха также пренебрегаем. В системе действуют только консервативные силы (сила тяжести) и силы нормальной реакции, работа которых в данном случае (для всей системы) равна нулю. При отсутствии диссипативных сил полная механическая энергия системы сохраняется.

Ответ: Да, сохраняется.

д) Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки и шайбы.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность стола. В начальный момент полная механическая энергия системы равна кинетической энергии шайбы: $E_{нач} = \frac{m v_0^2}{2}$. В конечный момент, когда шайба находится на высоте $\text{H}$ и движется вместе с горкой со скоростью $\text{V}$, полная механическая энергия системы равна сумме их общей кинетической энергии и потенциальной энергии шайбы: $E_{кон} = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$.

Уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$

Ответ: $\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$.

е) С помощью полученной системы уравнений выведите выражение для конечной скорости горки с шайбой V и начальной скорости шайбы v₀ и найдите их значения.

Дано:
Масса горки: $M = 200 \text{ г}$
Масса шайбы: $m = 20 \text{ г}$
Высота: $H = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$M = 0.2 \text{ кг}$
$m = 0.02 \text{ кг}$
$H = 0.2 \text{ м}$

Найти:
$V - ?$
$v_0 - ?$

Решение:

Используем систему уравнений из пунктов в) и д):

1) $m v_0 = (m+M)V$

2) $\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$

Из первого уравнения выразим начальную скорость шайбы $v_0$ через конечную скорость $\text{V}$:

$v_0 = \frac{m+M}{m}V$

Подставим это выражение для $v_0$ во второе уравнение:

$\frac{m}{2} \left( \frac{m+M}{m}V \right)^2 = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$

$\frac{m(m+M)^2}{2m^2}V^2 = \frac{(m+M)V^2}{2} + mgH$

$\frac{(m+M)^2}{2m}V^2 - \frac{(m+M)}{2}V^2 = mgH$

$V^2 \left( \frac{(m+M)^2}{2m} - \frac{m(m+M)}{2m} \right) = mgH$

$V^2 \frac{(m+M)(m+M-m)}{2m} = mgH$

$V^2 \frac{(m+M)M}{2m} = mgH$

Выразим $\text{V}$:

$V^2 = \frac{2m^2gH}{M(m+M)} \implies V = m \sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}}$

Теперь найдем $v_0$, подставив полученное выражение для $\text{V}$:

$v_0 = \frac{m+M}{m} \cdot m \sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}} = (m+M) \sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}} = \sqrt{\frac{2gH(m+M)^2}{M(m+M)}} = \sqrt{\frac{2gH(m+M)}{M}}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$V = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 0.2}{0.2 \cdot (0.02 + 0.2)}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{4}{0.2 \cdot 0.22}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{4}{0.044}} \approx 0.02 \cdot 9.534 \approx 0.19 \text{ м/с}$

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 0.2 \cdot (0.02 + 0.2)}{0.2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0.22}{0.2}} = \sqrt{20 \cdot 0.22} = \sqrt{4.4} \approx 2.1 \text{ м/с}$

Ответ: Выражение для конечной скорости: $V = m \sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}}$, её значение $V \approx 0.19 \text{ м/с}$.
Выражение для начальной скорости: $v_0 = \sqrt{\frac{2gH(m+M)}{M}}$, её значение $v_0 \approx 2.1 \text{ м/с}$.

<--between_edition_2-->