Номер 18, страница 196, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 18, страница 196.

Условие.

18. Наклонная плоскость с углом наклона $\alpha = 30^{\circ}$ и длиной 1 м в точке $\text{B}$ плавно переходит в вертикально расположенный обруч радиусом $r = 30 \text{ см}$ (рис. 19.14). Какую минимальную скорость надо сообщить шайбе, находящейся в нижней точке наклонной плоскости, чтобы она оторвалась от опоры в точке $\text{B}$? Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен 0,2.

Рис. 19.14

Решение 2.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$l = 1 \text{ м}$

$r = 30 \text{ см}$

$\mu = 0.2$

Перевод в систему СИ:

$r = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$v_0$ - минимальную начальную скорость шайбы.

Решение:

Задачу можно решить, используя закон сохранения энергии с учетом работы сил трения и второй закон Ньютона для движения по окружности.

1. Движение по наклонной плоскости.

Запишем закон изменения полной механической энергии для шайбы при ее движении из начальной точки (у основания наклонной плоскости, назовем ее А) до точки В. Изменение полной энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E = A_{тр}$

$(E_{кB} + E_{пB}) - (E_{кA} + E_{пA}) = A_{тр}$

Примем начальное положение шайбы за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда $E_{пA} = 0$. Начальная кинетическая энергия $E_{кA} = \frac{1}{2}mv_0^2$.

В точке В шайба будет иметь скорость $v_B$ и поднимется на высоту $h = l \sin\alpha$. Ее кинетическая и потенциальная энергии будут равны:

$E_{кB} = \frac{1}{2}mv_B^2$

$E_{пB} = mgh = mgl\sin\alpha$

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$. Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$.

Силу нормальной реакции опоры $\text{N}$ найдем из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости: $N - mg\cos\alpha = 0$, откуда $N = mg\cos\alpha$.

Тогда работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mgl\cos\alpha$.

Подставляем все выражения в закон изменения энергии:

$(\frac{1}{2}mv_B^2 + mgl\sin\alpha) - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\mu mgl\cos\alpha$

Сократим на массу $\text{m}$ и выразим $v_0^2$:

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_B^2 + gl\sin\alpha + \mu gl\cos\alpha$

$v_0^2 = v_B^2 + 2gl(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ (1)

2. Условие отрыва в точке B.

В точке В шайба начинает движение по окружности радиусом $\text{r}$. Отрыв от опоры означает, что сила нормальной реакции опоры в этой точке обращается в ноль, $N_B = 0$.

На шайбу в точке В действуют сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N_B$. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_B^2}{r}$, направленное к центру окружности O.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление (вдоль радиуса OB, который перпендикулярен наклонной плоскости):

$N_B + mg\cos\alpha = m \frac{v_B^2}{r}$

При $N_B = 0$ получаем:

$mg\cos\alpha = m \frac{v_B^2}{r}$

Отсюда находим квадрат скорости в точке В, необходимой для отрыва:

$v_B^2 = gr\cos\alpha$ (2)

3. Нахождение начальной скорости.

Подставим выражение (2) для $v_B^2$ в уравнение (1):

$v_0^2 = gr\cos\alpha + 2gl(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Отсюда минимальная начальная скорость равна:

$v_0 = \sqrt{gr\cos\alpha + 2gl(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)} = \sqrt{g(r\cos\alpha + 2l(\sin\alpha + \mu\cos\alpha))}$

4. Вычисления.

Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\sin 30^\circ = 0.5$

$v_0 = \sqrt{9.8 \cdot (0.3 \cdot 0.866 + 2 \cdot 1 \cdot (0.5 + 0.2 \cdot 0.866))}$

$v_0 = \sqrt{9.8 \cdot (0.2598 + 2 \cdot (0.5 + 0.1732))}$

$v_0 = \sqrt{9.8 \cdot (0.2598 + 2 \cdot 0.6732)}$

$v_0 = \sqrt{9.8 \cdot (0.2598 + 1.3464)}$

$v_0 = \sqrt{9.8 \cdot 1.6062} = \sqrt{15.74076} \approx 3.97 \text{ м/с}$

Ответ: минимальная скорость, которую надо сообщить шайбе, равна $3.97 \text{ м/с}$.