Номер 15, страница 196, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 15, страница 196.

Условие.

15. Шайба, находящаяся на вершине закрепленной на столе гладкой полусферы радиусом $\text{R}$, соскальзывает с неё из состояния покоя. С какой скоростью шайба упадёт на стол?

Решение 2.

Дано:

Радиус полусферы: $\text{R}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Скорость шайбы при падении на стол: $\text{v}$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Этот закон применим, так как поверхность полусферы гладкая (трение отсутствует), а сила нормальной реакции опоры всегда перпендикулярна направлению движения шайбы и, следовательно, не совершает работы. Единственной силой, совершающей работу, является сила тяжести, которая является консервативной.

Полная механическая энергия $\text{E}$ системы "шайба-Земля" равна сумме кинетической энергии $\text{K}$ и потенциальной энергии $\text{U}$:

$E = K + U = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $\text{m}$ — масса шайбы, $\text{v}$ — её скорость, $\text{h}$ — высота над нулевым уровнем.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность стола ($h=0$).

1. Начальное состояние: шайба находится на вершине полусферы.

Высота шайбы $h_1 = R$.

Скорость шайбы $v_1 = 0$, так как она начинает движение из состояния покоя.

Полная механическая энергия в начальном состоянии:

$E_1 = K_1 + U_1 = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = 0 + mgR = mgR$

2. Конечное состояние: шайба падает на стол.

Высота шайбы $h_2 = 0$.

Скорость шайбы в этот момент обозначим как $\text{v}$.

Полная механическая энергия в конечном состоянии:

$E_2 = K_2 + U_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgR = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$gR = \frac{v^2}{2}$

Выразим отсюда скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2gR$

$v = \sqrt{2gR}$

Ответ: скорость, с которой шайба упадёт на стол, равна $v = \sqrt{2gR}$.