Номер 4, страница 198, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 4, страница 198.

Условие.

4. В брусок массой $M = 1$ кг, подвешенный на лёгкой нити длиной $l = 1$ м, попадает горизонтально летящая пуля массой $m = 10$ г и застревает в нём (рис. 20.1). Скорость пули перед попаданием в брусок $v_\text{п} = 400$ м/с. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рис. 20.1

Движение пули внутри бруска происходит в течение очень краткого промежутка времени, поэтому можно пренебречь действием других тел (Земли и нити) на брусок и пулю в течение этого времени, вследствие чего можно считать, что их суммарный импульс сохраняется.

а) Выразите скорость бруска с пулей $v_\text{б}$ сразу после попадания пули в брусок через величины, заданные в описании ситуации.

б) Какую долю начальной кинетической энергии пули составляет кинетическая энергия бруска с пулей сразу после попадания пули в брусок?

Ответ на предыдущий вопрос указывает: когда пуля движется внутри бруска, суммарная механическая энергия пули и бруска не сохраняется! Но можно считать, что сохраняется механическая энергия бруска с застрявшей в нём пулей при его последующем движении, потому что согласно условию сопротивлением воздуха можно пренебречь.

в) На какую максимальную высоту поднялся брусок с пулей?

Решение 2.

Дано:

Масса бруска: $M = 1$ кг
Длина нити: $l = 1$ м
Масса пули: $m = 10$ г = $0.01$ кг
Скорость пули до попадания: $v_п = 400$ м/с

Найти:

а) Скорость бруска с пулей $v_б$ сразу после попадания
б) Отношение кинетической энергии бруска с пулей после попадания ($K_f$) к начальной кинетической энергии пули ($K_i$), т.е. $\frac{K_f}{K_i}$
в) Максимальную высоту подъема бруска с пулей $\text{h}$

Решение:

а) Выразите скорость бруска с пулей $v_б$ сразу после попадания пули в брусок через величины, заданные в описании ситуации.

Рассмотрим систему "пуля + брусок". Попадание пули в брусок является абсолютно неупругим ударом. Поскольку взаимодействие происходит за очень короткое время, можно пренебречь действием внешних сил (силы тяжести и силы натяжения нити) в момент удара. Следовательно, для системы "пуля + брусок" выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до взаимодействия (брусок покоится):

$p_i = m v_п + M \cdot 0 = m v_п$

Импульс системы сразу после взаимодействия (пуля и брусок движутся вместе со скоростью $v_б$):

$p_f = (m + M) v_б$

Согласно закону сохранения импульса, $p_i = p_f$:

$m v_п = (m + M) v_б$

Выразим отсюда скорость бруска с пулей $v_б$:

$v_б = \frac{m v_п}{m + M}$

Подставим числовые значения:

$v_б = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м/с}}{0.01 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1.01 \text{ кг}} \approx 3.96 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость бруска с пулей сразу после попадания выражается формулой $v_б = \frac{m v_п}{m + M}$ и численно равна примерно $3.96$ м/с.

б) Какую долю начальной кинетической энергии пули составляет кинетическая энергия бруска с пулей сразу после попадания пули в брусок?

Начальная кинетическая энергия системы — это кинетическая энергия пули до удара:

$K_i = \frac{m v_п^2}{2}$

Кинетическая энергия системы "брусок + пуля" сразу после удара:

$K_f = \frac{(m+M) v_б^2}{2}$

Найдем долю, которую составляет конечная кинетическая энергия от начальной, то есть их отношение $\frac{K_f}{K_i}$:

$\frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{(m+M) v_б^2}{2}}{\frac{m v_п^2}{2}} = \frac{(m+M) v_б^2}{m v_п^2}$

Подставим в это выражение формулу для $v_б$ из пункта а):

$\frac{K_f}{K_i} = \frac{(m+M)}{m v_п^2} \left( \frac{m v_п}{m + M} \right)^2 = \frac{(m+M)}{m v_п^2} \frac{m^2 v_п^2}{(m + M)^2} = \frac{m}{m+M}$

Подставим числовые значения:

$\frac{K_f}{K_i} = \frac{0.01 \text{ кг}}{0.01 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{0.01}{1.01} \approx 0.0099$

Это означает, что в кинетическую энергию бруска с пулей перешло около $0.99\%$ начальной кинетической энергии пули. Остальная энергия превратилась во внутреннюю (нагрев) в результате неупругого удара.

Ответ: Кинетическая энергия бруска с пулей составляет долю $\frac{m}{m+M} \approx 0.0099$ от начальной кинетической энергии пули.

в) На какую максимальную высоту поднялся брусок с пулей?

После столкновения брусок с пулей начинает движение вверх. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, для системы "брусок + пуля" выполняется закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем начальное положение бруска.

В начальный момент (сразу после удара, в нижней точке траектории) система обладает кинетической энергией $K_f$ и нулевой потенциальной энергией. Полная механическая энергия в этот момент:

$E_1 = K_f + 0 = \frac{(m+M) v_б^2}{2}$

В верхней точке траектории, на максимальной высоте $\text{h}$, скорость системы становится равной нулю, поэтому кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия в этот момент максимальна. Полная механическая энергия в этот момент:

$E_2 = 0 + (m+M)gh$

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{(m+M) v_б^2}{2} = (m+M)gh$

Сократив массу $(m+M)$, выразим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_б^2}{2g}$

Подставим числовые значения, используя $v_б \approx 3.96$ м/с и $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$h = \frac{(3.96 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{15.6816 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 0.80 \text{ м}$

Ответ: Брусок с пулей поднялся на максимальную высоту $h \approx 0.80$ м.