Номер 7, страница 199, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 7, страница 199.

Условие.

7. В предыдущей ситуации шайба налетает на горку с начальной скоростью $v_0 = 1,5$ м/с.

а) До какой максимальной высоты $\text{h}$ поднимется шайба по горке?

б) Чему будет равна общая скорость $\text{V}$ горки и шайбы в момент, когда шайба достигнет максимальной высоты?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость шайбы: $v_0 = 1,5$ м/с.

Масса шайбы: $\text{m}$.

Масса горки: $\text{M}$.

Начальная скорость горки: $v_{г0} = 0$ м/с.

Примечание: Массы шайбы ($\text{m}$) и горки ($\text{M}$) должны быть известны из условия "предыдущей ситуации", которое не предоставлено. Поэтому решение будет представлено в общем виде (в виде формул, зависящих от этих масс).

Найти:

а) $\text{h}$ - максимальная высота подъема шайбы.

б) $\text{V}$ - общая скорость горки и шайбы в момент достижения максимальной высоты.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из шайбы и горки. Будем считать, что горка может свободно скользить по гладкой горизонтальной поверхности без трения, а также трение между шайбой и поверхностью горки отсутствует. При таких условиях для системы "шайба-горка" выполняются закон сохранения импульса в горизонтальном направлении и закон сохранения механической энергии.

Целесообразно сначала решить пункт б), так как найденная общая скорость $\text{V}$ потребуется для решения пункта а).

б) Чему будет равна общая скорость V горки и шайбы в момент, когда шайба достигнет максимальной высоты?

В момент, когда шайба достигает максимальной высоты на горке, ее вертикальная скорость относительно горки равна нулю. Это означает, что в этот момент шайба и горка движутся вместе как единое целое с одинаковой горизонтальной скоростью $\text{V}$.

Поскольку на систему не действуют внешние горизонтальные силы, горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется.

Импульс системы до взаимодействия (горка покоится, шайба движется со скоростью $v_0$):

$p_{начальный} = m v_0 + M \cdot 0 = m v_0$

Импульс системы в момент достижения шайбой максимальной высоты (оба тела движутся со скоростью $\text{V}$):

$p_{конечный} = (m + M)V$

Приравниваем начальный и конечный импульсы согласно закону сохранения импульса:

$m v_0 = (m + M)V$

Отсюда выражаем общую скорость $\text{V}$:

$V = \frac{m}{m+M} v_0$

Подставим известное значение $v_0 = 1,5$ м/с:

$V = \frac{m}{m+M} \cdot 1,5$ м/с.

Ответ: Общая скорость горки и шайбы в момент достижения максимальной высоты равна $V = \frac{1,5m}{m+M}$ м/с, где $\text{m}$ и $\text{M}$ - массы шайбы и горки соответственно.

а) До какой максимальной высоты h поднимется шайба по горке?

Так как трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется. За нулевой уровень потенциальной энергии примем начальное положение шайбы (горизонтальную поверхность).

Начальная механическая энергия системы состоит только из кинетической энергии шайбы:

$E_{начальная} = \frac{1}{2}m v_0^2$

Конечная механическая энергия системы в момент подъема на максимальную высоту $\text{h}$ состоит из общей кинетической энергии шайбы и горки, движущихся со скоростью $\text{V}$, и потенциальной энергии шайбы:

$E_{конечная} = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgh$

Согласно закону сохранения энергии:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgh$

Для нахождения $\text{h}$ подставим в это уравнение выражение для скорости $\text{V}$, полученное в пункте б): $V = \frac{m v_0}{m+M}$.

$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m v_0}{m+M}\right)^2 + mgh$

$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2 v_0^2}{(m+M)^2} + mgh$

$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M} + mgh$

Выразим отсюда слагаемое $mgh$:

$mgh = \frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}m v_0^2$ за скобки:

$mgh = \frac{1}{2}m v_0^2 \left(1 - \frac{m}{m+M}\right)$

$mgh = \frac{1}{2}m v_0^2 \left(\frac{m+M-m}{m+M}\right)$

$mgh = \frac{1}{2}m v_0^2 \frac{M}{m+M}$

Сократим массу шайбы $\text{m}$ и выразим высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_0^2}{2g} \frac{M}{m+M}$

Подставим числовые значения $v_0 = 1,5$ м/с и $g \approx 9,8$ м/с²:

$h = \frac{(1,5)^2}{2 \cdot 9,8} \frac{M}{m+M} = \frac{2,25}{19,6} \frac{M}{m+M} \approx 0,115 \frac{M}{m+M}$ м.

Ответ: Максимальная высота, на которую поднимется шайба, равна $h = \frac{v_0^2 M}{2g(m+M)} \approx 0,115 \frac{M}{m+M}$ м, где $\text{m}$ и $\text{M}$ - массы шайбы и горки, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения.