Номер 14, страница 201, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 14, страница 201.

Условие.

14. Подвешенный на нити шар отводят от положения равновесия, как показано на рисунке 20.5, и отпускают без толчка. В момент, когда шар проходит положение равновесия, его пробивает насквозь пуля массой 10 г, в результате чего горизонтально направленная скорость пули уменьшается на 100 м/с. На какой угол от вертикали будет отклоняться нить при колебаниях пробитого пулей шара? Масса шара 1 кг, длина нити 0,9 м. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рис. 20.5

Решение 2.

Дано

$m_ш = 1$ кг

$m_п = 10 \text{ г} = 0,01$ кг

$L = 0,9$ м

$\alpha = 60°$

$\Delta v_п = 100$ м/с (уменьшение скорости пули)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\beta$ - ?

Решение

Решение задачи можно разбить на три этапа:

1. Нахождение скорости шара $v_ш$ в момент прохождения положения равновесия (непосредственно перед попаданием пули) с помощью закона сохранения механической энергии.

2. Нахождение скорости шара $v_ш'$ сразу после того, как его пробила пуля, с помощью закона сохранения импульса.

3. Нахождение максимального угла отклонения $\beta$ после взаимодействия с пулей, снова используя закон сохранения механической энергии.

Этап 1: Скорость шара перед столкновением

В начальный момент, когда шар отклонен на угол $\alpha$, его высота над положением равновесия равна $h_1 = L - L\cos\alpha = L(1 - \cos\alpha)$. В этой точке шар обладает потенциальной энергией $E_{p1} = m_ш g h_1$ и нулевой кинетической энергией (так как его отпускают без толчка).

В момент прохождения положения равновесия вся потенциальная энергия переходит в кинетическую $E_{k1} = \frac{m_ш v_ш^2}{2}$.

По закону сохранения энергии:

$E_{p1} = E_{k1}$

$m_ш g L(1 - \cos\alpha) = \frac{m_ш v_ш^2}{2}$

Отсюда находим скорость шара $v_ш$:

$v_ш = \sqrt{2gL(1 - \cos\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$v_ш = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 0,9 \cdot (1 - \cos60°)} = \sqrt{17,64 \cdot (1 - 0,5)} = \sqrt{17,64 \cdot 0,5} = \sqrt{8,82} \approx 2,97$ м/с.

Этап 2: Скорость шара после столкновения

Рассмотрим систему "шар + пуля" в момент взаимодействия. Так как взаимодействие происходит за очень короткое время, можно применить закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до взаимодействия: $p_1 = m_ш v_ш + m_п v_{п1}$, где $v_{п1}$ - скорость пули до столкновения.

Импульс системы после взаимодействия: $p_2 = m_ш v_ш' + m_п v_{п2}$, где $v_ш'$ и $v_{п2}$ - скорости шара и пули после столкновения.

По закону сохранения импульса $p_1 = p_2$:

$m_ш v_ш + m_п v_{п1} = m_ш v_ш' + m_п v_{п2}$

Перегруппируем слагаемые:

$m_ш (v_ш' - v_ш) = m_п (v_{п1} - v_{п2})$

Выражение $(v_{п1} - v_{п2})$ - это изменение скорости пули, которое по условию равно $\Delta v_п = 100$ м/с.

$m_ш (v_ш' - v_ш) = m_п \Delta v_п$

Выразим скорость шара после столкновения $v_ш'$:

$v_ш' = v_ш + \frac{m_п \Delta v_п}{m_ш}$

Подставим значения:

$v_ш' = 2,97 + \frac{0,01 \cdot 100}{1} = 2,97 + 1 = 3,97$ м/с.

Этап 3: Угол отклонения после столкновения

После столкновения шар обладает кинетической энергией $E_{k2} = \frac{m_ш (v_ш')^2}{2}$. Он будет отклоняться до тех пор, пока вся эта энергия не перейдет в потенциальную $E_{p2} = m_ш g h_2$, где $h_2$ - максимальная высота подъема после столкновения.

$h_2 = L(1 - \cos\beta)$

По закону сохранения энергии:

$E_{k2} = E_{p2}$

$\frac{m_ш (v_ш')^2}{2} = m_ш g L(1 - \cos\beta)$

$\frac{(v_ш')^2}{2} = g L(1 - \cos\beta)$

Выразим $\cos\beta$:

$1 - \cos\beta = \frac{(v_ш')^2}{2gL}$

$\cos\beta = 1 - \frac{(v_ш')^2}{2gL}$

Подставим числовые значения:

$\cos\beta = 1 - \frac{(3,97)^2}{2 \cdot 9,8 \cdot 0,9} = 1 - \frac{15,7609}{17,64} \approx 1 - 0,8935 = 0,1065$

Теперь найдем угол $\beta$:

$\beta = \arccos(0,1065) \approx 83,9°$

Ответ: нить с пробитым пулей шаром будет отклоняться на угол приблизительно $83,9°$.