Номер 5, страница 206, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 21. Движение жидкостей и газов - номер 5, страница 206.

Условие.

5. Используя то, что объем рассматриваемой массы жидкости $V = S_1l_1 = S_2l_2$, а также используя формулу, выражающую массу жидкости через ее объем и плотность, докажите, что из предыдущего уравнения следует соотношение $\frac{\rho{v_2^2}}{2} + p_2 = \frac{\rho{v_1^2}}{2} + p_1$, где $\rho$ — плотность жидкости.

Из полученного соотношения следует, что в одном и том же потоке жидкости $\frac{\rho{v^2}}{2} + p = \text{const.}$

Это соотношение впервые было выведено Д. Бернулли, поэтому его называют уравнением Бернулли. Оно выражает закон сохранения энергии в применении к потоку жидкости.

Решение 2.

Дано:

Предыдущее уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии для элемента жидкости: $p_1 S_1 l_1 - p_2 S_2 l_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2$
Объем рассматриваемой массы жидкости: $V = S_1 l_1 = S_2 l_2$
Формула для массы жидкости: $m = \rho V$, где $\rho$ — плотность жидкости.

Доказать:

$ \frac{\rho v_2^2}{2} + p_2 = \frac{\rho v_1^2}{2} + p_1 $

Решение:

Возьмём исходное уравнение, которое представляет собой закон сохранения энергии (в форме теоремы о кинетической энергии) для элемента жидкости, перемещающегося из сечения 1 в сечение 2: работа сил давления равна изменению кинетической энергии.

$p_1 S_1 l_1 - p_2 S_2 l_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2$

Согласно условию, для несжимаемой жидкости объём рассматриваемой массы постоянен: $V = S_1 l_1 = S_2 l_2$. Подставим это выражение для объёма в левую часть уравнения:

$p_1 V - p_2 V = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2$

Вынесем объём $\text{V}$ за скобки:

$(p_1 - p_2)V = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2$

Теперь используем второе условие — формулу, выражающую массу жидкости через её объём и плотность: $m = \rho V$. Подставим это выражение для массы $\text{m}$ в правую часть уравнения:

$(p_1 - p_2)V = \frac{1}{2} (\rho V) v_2^2 - \frac{1}{2} (\rho V) v_1^2$

Поскольку объём рассматриваемой массы жидкости $\text{V}$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{V}$:

$p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 - \frac{1}{2} \rho v_1^2$

Перегруппируем члены уравнения так, чтобы все величины, относящиеся к сечению 1, были в одной части, а к сечению 2 — в другой. Для этого перенесём $-p_2$ в правую часть, а $-\frac{1}{2} \rho v_1^2$ — в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные:

$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Это и есть искомое соотношение, что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $\frac{\rho v_2^2}{2} + p_2 = \frac{\rho v_1^2}{2} + p_1$ доказано путём подстановки выражений для объёма $V = S_1 l_1 = S_2 l_2$ и массы $m = \rho V$ в уравнение теоремы о кинетической энергии для элемента жидкости и последующих алгебраических преобразований.