Номер 6, страница 211, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 6, страница 211.

Условие.

6. На лёгком стержне, закреплённом на оси O, подвешены гирлянды брусков (рис. 22.7). Масса каждого бруска 100 г.

Рис. 22.7

а) В каких точках и какие грузы можно подвесить, чтобы стержень мог находиться в покое в горизонтальном положении? Предложите как можно больше вариантов.

б) В какой точке надо приложить направленную вертикально вверх силу 3 Н, чтобы стержень мог находиться в покое в горизонтальном положении?

Решение 2.

а)

Для того чтобы лёгкий стержень находился в равновесии (в покое), необходимо, чтобы сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, была равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. Это правило моментов: $M_1 = M_2$.

Момент силы вычисляется как произведение модуля силы на её плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы): $M = F \cdot d$. В данном случае сила — это вес грузов $P = mg$, а плечо — это расстояние от оси O до точки подвеса, измеряемое в делениях шкалы.

Поскольку масса каждого бруска $m_0$ одинакова, вес одного бруска также одинаков ($P_0 = m_0 g$). Тогда условие равновесия для гирлянд из $n_1$ и $n_2$ брусков, подвешенных на расстояниях $d_1$ и $d_2$ соответственно, можно записать в виде:

$(n_1 \cdot P_0) \cdot d_1 = (n_2 \cdot P_0) \cdot d_2$

Сократив на $P_0$, получаем простое правило: произведение числа брусков на их расстояние от центра с одной стороны должно быть равно такому же произведению с другой стороны.

$n_1 \cdot d_1 = n_2 \cdot d_2$

Вот несколько возможных вариантов расположения грузов для достижения равновесия:

1. Симметричное расположение: Подвесить одинаковое количество грузов на одинаковом расстоянии от центра. Например, 2 бруска слева на расстоянии 3 деления и 2 бруска справа на расстоянии 3 деления. Проверка: $2 \cdot 3 = 2 \cdot 3$.

2. Асимметричное расположение: Подвесить разное количество грузов на разном расстоянии. Например, 4 бруска слева на расстоянии 2 деления и 2 бруска справа на расстоянии 4 деления. Проверка: $4 \cdot 2 = 2 \cdot 4$.

3. Крайние положения: Подвесить 1 брусок слева на расстоянии 5 делений и 5 брусков справа на расстоянии 1 деление. Проверка: $1 \cdot 5 = 5 \cdot 1$.

4. Конфигурация из рисунка: 4 бруска слева на расстоянии 3 деления и 3 бруска справа на расстоянии 4 деления. Проверка: $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4$.

Можно также уравновесить один груз с одной стороны двумя или более грузами с другой. Например, 5 брусков на 4-м делении справа ($5 \cdot 4 = 20$) можно уравновесить 2 брусками на 5-м делении слева ($2 \cdot 5 = 10$) и 5 брусками на 2-м делении слева ($5 \cdot 2 = 10$). Суммарный момент слева будет $10 + 10 = 20$.

Ответ: Равновесие достигается, когда выполняется условие $n_1 \cdot d_1 = n_2 \cdot d_2$. Варианты: 2 бруска на 3-м делении слева и 2 бруска на 3-м делении справа; 4 бруска на 2-м делении слева и 2 бруска на 4-м делении справа; 1 брусок на 5-м делении слева и 5 брусков на 1-м делении справа и т.д.

б)

Дано:
$m_0 = 100$ г (масса одного бруска)
$F = 3$ Н (прилагаемая вверх сила)
$n_R = 3$ (количество брусков справа на рисунке)
$d_R = 4$ деления (расстояние для брусков справа)
$g \approx 10$ Н/кг (ускорение свободного падения)

$m_0 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:
$d_F$ — плечо силы $\text{F}$ (расстояние от оси О), при котором стержень будет в равновесии.

Решение:

Стержень, изображенный на рисунке, уже находится в равновесии, так как момент сил слева ($4 \text{ бруска} \cdot 3 \text{ деления} = 12$) равен моменту сил справа ($3 \text{ бруска} \cdot 4 \text{ деления} = 12$). Приложение дополнительной силы нарушит это равновесие.

Следовательно, задача, по-видимому, предполагает, что необходимо уравновесить только одну из гирлянд грузов (например, ту, что справа) с помощью приложенной вверх силы $F=3$ Н.

Грузы справа создают вращающий момент, направленный по часовой стрелке. Его величина:

$M_R = P_R \cdot d_R = (n_R \cdot m_0 \cdot g) \cdot d_R$

$M_R = (3 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}) \cdot 4 \text{ деления} = 3 \text{ Н} \cdot 4 \text{ деления} = 12 \text{ Н} \cdot \text{делений}$

Чтобы стержень был в равновесии, направленная вверх сила $\text{F}$ должна создать такой же по величине, но противоположно направленный (против часовой стрелки) момент. Сила, направленная вверх, создаст момент против часовой стрелки, если она приложена справа от оси O.

$M_F = F \cdot d_F$

Приравниваем моменты:

$M_F = M_R$

$F \cdot d_F = 12 \text{ Н} \cdot \text{делений}$

$3 \text{ Н} \cdot d_F = 12 \text{ Н} \cdot \text{делений}$

$d_F = \frac{12 \text{ Н} \cdot \text{делений}}{3 \text{ Н}} = 4 \text{ деления}$

Таким образом, силу нужно приложить на расстоянии 4 делений от центра O, на той же стороне, где находятся грузы, которые мы уравновешиваем (в нашем случае — справа).

Если бы мы уравновешивали грузы слева, момент был бы $M_L = (4 \cdot 0.1 \cdot 10) \cdot 3 = 12 \text{ Н} \cdot \text{делений}$, и результат для расстояния был бы тем же ($d_F=4$ деления), но силу пришлось бы прикладывать слева от оси.

Ответ: Силу 3 Н надо приложить на расстоянии 4-го деления от оси вращения O. Если уравновешивать грузы, показанные на рисунке справа, то силу нужно приложить на 4-м делении справа. Если уравновешивать грузы слева, то на 4-м делении слева.