Номер 10, страница 213, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 10, страница 213.

Условие.

10. Нижний конец лёгкого стержня закреплён в шарнире и может поворачиваться в нём без трения (рис. 22.11). Верхний конец стержня соединён тросом со стеной. Трос расположен горизонтально. Груз массой $m = 20 \text{ кг}$ подвешен к верхнему концу стержня. Трением в шарнире можно пренебречь. Угол между стержнем и вертикалью $\alpha = 60^\circ$.

Рис. 22.11

а) Чему равна по модулю сила, действующая со стороны стержня на шарнир?

б) Направлена ли эта сила вдоль стержня?

Решение 2.

Дано:

m = 20 кг

α = 60°

Примем ускорение свободного падения g ≈ 9,8 м/с².

Найти:

а) R - модуль силы, действующей со стороны стержня на шарнир.

б) Направлена ли эта сила вдоль стержня?

Решение:

Рассмотрим условия равновесия лёгкого стержня. На стержень действуют три силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{F_g} = m\vec{g}$, приложенная к верхнему концу стержня и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения троса $\vec{T}$, приложенная к верхнему концу стержня и направленная горизонтально.

3. Сила реакции шарнира $\vec{R}$, приложенная к нижнему концу стержня. Эту силу можно разложить на горизонтальную ($R_x$) и вертикальную ($R_y$) составляющие.

Поскольку стержень находится в равновесии, сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Выберем в качестве оси вращения точку крепления стержня в шарнире. Момент силы реакции $\vec{R}$ относительно этой точки равен нулю, так как плечо силы равно нулю.

а) Чему равна по модулю сила, действующая со стороны стержня на шарнир?

Пусть длина стержня равна $\text{L}$. Момент силы тяжести $M_g$ стремится повернуть стержень против часовой стрелки, а момент силы натяжения троса $M_T$ - по часовой стрелке. Плечо силы $F_g$ равно $L \sin\alpha$, а плечо силы $\text{T}$ равно $L \cos\alpha$.

Условие равенства моментов:

$M_g - M_T = 0$

$F_g \cdot (L \sin\alpha) - T \cdot (L \cos\alpha) = 0$

$mg L \sin\alpha = T L \cos\alpha$

Отсюда находим силу натяжения троса:

$T = mg \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = mg \tan\alpha$

Для равновесия стержня также необходимо, чтобы векторная сумма всех действующих на него сил была равна нулю. Запишем это условие в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

По оси X: $R_x - T = 0 \implies R_x = T = mg \tan\alpha$

По оси Y: $R_y - F_g = 0 \implies R_y = mg$

Теперь можем найти модуль силы реакции шарнира $\vec{R}$ по теореме Пифагора:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(mg \tan\alpha)^2 + (mg)^2} = mg \sqrt{\tan^2\alpha + 1}$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, получаем:

$R = mg \sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}} = \frac{mg}{|\cos\alpha|}$

Поскольку $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $\cos\alpha > 0$, то $R = \frac{mg}{\cos\alpha}$.

Подставим числовые значения:

$R = \frac{20 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{\cos(60^\circ)} = \frac{196 \text{ Н}}{0,5} = 392 \text{ Н}$

Согласно третьему закону Ньютона, сила, действующая со стороны стержня на шарнир, равна по модулю силе реакции шарнира, действующей на стержень.

Ответ: 392 Н.

б) Направлена ли эта сила вдоль стержня?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним направление вектора силы реакции шарнира $\vec{R}$ и направление самого стержня. Направление вектора характеризуется тангенсом угла его наклона к горизонтальной оси.

Тангенс угла наклона $\theta$ вектора силы $\vec{R}$ к горизонтали равен отношению его компонент:

$\tan\theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{mg}{mg \tan\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha} = \cot\alpha$

Стержень образует с вертикалью угол $\alpha$. Следовательно, с горизонталью он образует угол $\beta = 90^\circ - \alpha$. Тангенс угла наклона стержня к горизонтали равен:

$\tan\beta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$

Так как $\tan\theta = \tan\beta$, направления силы реакции шарнира и стержня совпадают. Следовательно, сила реакции шарнира, действующая на стержень, направлена вдоль стержня. Сила, действующая со стороны стержня на шарнир, также направлена вдоль стержня (в противоположную сторону).

Ответ: Да, направлена.