Номер 17, страница 215, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 17, страница 215.

Условие.

17. На лёгком горизонтальном стержне подвешены два груза в точках, находящихся на расстояниях 50 см и 1 м от точки опоры стержня. Чему равны массы грузов, если сила, с которой стержень давит на опору, равна 120 Н?

Решение 2.

Дано:

$l_1 = 50 \text{ см}$

$l_2 = 1 \text{ м}$

$F = 120 \text{ Н}$

Стержень лёгкий (невесомый).

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ Н/кг}$.

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$m_1 - ?$

$m_2 - ?$

Решение:

Поскольку стержень является лёгким, его собственной массой можно пренебречь. Стержень находится в состоянии равновесия. Это означает, что выполняются два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки (оси вращения) равна нулю.

На стержень действуют три вертикальные силы: силы тяжести двух грузов $P_1 = m_1g$ и $P_2 = m_2g$, направленные вниз, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх. По третьему закону Ньютона, сила $\text{F}$, с которой стержень давит на опору, равна по модулю силе реакции опоры $\text{N}$. Таким образом, $N = F = 120$ Н.

Из первого условия равновесия (равенство сил) следует, что сила реакции опоры уравновешивает суммарную силу тяжести грузов:

$N = P_1 + P_2$

$F = m_1g + m_2g = (m_1 + m_2)g$

Из этого уравнения мы можем найти суммарную массу грузов:

$m_1 + m_2 = \frac{F}{g} = \frac{120 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 12 \text{ кг}$

Это первое уравнение нашей системы.

Второе условие равновесия — это правило моментов. Для того чтобы стержень был в равновесии, грузы должны быть расположены по разные стороны от точки опоры. Момент силы, вращающий стержень в одном направлении, должен быть равен моменту силы, вращающему его в противоположном направлении. Запишем уравнение моментов относительно точки опоры:

$M_1 = M_2$

где $M_1 = P_1 l_1$ и $M_2 = P_2 l_2$ — моменты сил тяжести грузов.

$m_1 g l_1 = m_2 g l_2$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ можно сократить, и мы получим второе уравнение:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Подставим известные значения плеч $l_1$ и $l_2$ (в метрах):

$m_1 \cdot 0.5 = m_2 \cdot 1$

$m_2 = 0.5 m_1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 12 \\ m_2 = 0.5 m_1 \end{cases}$

Подставим выражение для $m_2$ из второго уравнения в первое:

$m_1 + (0.5 m_1) = 12$

$1.5 m_1 = 12$

$m_1 = \frac{12}{1.5} = 8 \text{ кг}$

Теперь, зная массу первого груза, найдём массу второго груза:

$m_2 = 0.5 \cdot m_1 = 0.5 \cdot 8 = 4 \text{ кг}$

Ответ:

Массы грузов равны 8 кг (для груза на расстоянии 50 см) и 4 кг (для груза на расстоянии 1 м).